Для решения задачи воспользуемся формулой Байеса.
Обозначим события:
- ( A_1 ): Рыбак ловит в первом месте.
- ( A_2 ): Рыбак ловит во втором месте.
- ( A_3 ): Рыбак ловит в третьем месте.
- ( B ): Рыба клюнула.
Нам нужно найти вероятность ( P(A_1 | B) ), т.е. вероятность того, что рыбак ловил в первом месте, при условии, что рыба клюнула.
Согласно формуле Байеса:
[
P(A_1 | B) = \frac{P(B | A_1) \cdot P(A_1)}{P(B)}
]
Где:
- ( P(A_1) = P(A_2) = P(A_3) = \frac{1}{3} ) (так как он выбирает места с равной вероятностью).
- ( P(B | A_1) = 0.6 ) (вероятность того, что рыба клюнет в первом месте).
- ( P(B | A_2) = 0.9 ) (вероятность того, что рыба клюнет во втором месте).
- ( P(B | A_3) = 0.7 ) (вероятность того, что рыба клюнет в третьем месте).
Теперь найдем ( P(B) ). Для этого используем теорему полной вероятности:
[
P(B) = P(B | A_1) \cdot P(A_1) + P(B | A_2) \cdot P(A_2) + P(B | A_3) \cdot P(A_3)
]
[
P(B) = 0.6 \cdot \frac{1}{3} + 0.9 \cdot \frac{1}{3} + 0.7 \cdot \frac{1}{3}
]
[
P(B) = \frac{0.6 + 0.9 + 0.7}{3} = \frac{2.2}{3} \approx 0.7333
]
Теперь подставим значения в формулу Байеса:
[
P(A_1 | B) = \frac{P(B | A_1) \cdot P(A_1)}{P(B)} = \frac{0.6 \cdot \frac{1}{3}}{\frac{2.2}{3}}
]
[
P(A_1 | B) = \frac{0.6}{2.2} \approx 0.2727
]
Округляя до сотых, получаем:
[
P(A_1 | B) \approx 0.27
]
Таким образом, вероятность того, что рыбак ловил в первом месте, при условии, что рыба клюнула, составляет примерно ( 0.27 ) или ( 27% ).
