Для нахождения значений ( k ), при которых прямая ( y = kx ) имеет с графиком функции ( y = x^2 + 6.25 ) ровно одну общую точку, необходимо решить уравнение:
[
kx = x^2 + 6.25
]
Перепишем его в стандартном виде:
[
x^2 - kx + 6.25 = 0
]
Чтобы прямая имела ровно одну общую точку с параболой, это уравнение должно иметь ровно одно решение. Это происходит, когда дискриминант уравнения равен нулю.
Дискриминант ( D ) квадратного уравнения ( ax^2 + bx + c = 0 ) вычисляется по формуле:
[
D = b^2 - 4ac
]
В нашем случае:
- ( a = 1 )
- ( b = -k )
- ( c = 6.25 )
Подставим значения в формулу дискриминанта:
[
D = (-k)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6.25 = k^2 - 25
]
Теперь установим условие для ровно одного решения:
[
D = 0
]
Это дает нам уравнение:
[
k^2 - 25 = 0
]
Решим его:
[
k^2 = 25
]
Итак, получаем:
[
k = 5 \quad \text{или} \quad k = -5
]
Таким образом, прямая ( y = kx ) будет иметь с графиком функции ( y = x^2 + 6.25 ) ровно одну общую точку при ( k = 5 ) или ( k = -5 ).
Теперь можно построить график функции ( y = x^2 + 6.25 ):
- Это парабола,开的 вверх с вершинкой в точке (0, 6,25).
- Она будет пересекать ось ( y ) в точке (0, 6.25).
- Область определения = ( (-\infty, +\infty) ), область значений = ( [6.25, +\infty) ).
Параллельно нарисуйте прямые ( y = 5x ) и ( y = -5x ), что поможет визуализировать точки пересечения.
