Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает стороны АВ и ВС в точках М и N соответственно. Найдите BN, если MN=22, AC=55, NC=36.

В заданном треугольнике \( ABC \) прямая \( MN \), параллельная стороне \( AC \), делит стороны \( AB \) и \( BC \) пропорционально. Это означает, что по теореме о пропорциональности отрезков, которую мы можем применить в таких случаях, справедливо следующее соотношение:

\[ \frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC} \]

Обозначим \( AN = x \). Тогда, зная, что \( NC = 36 \), мы можем записать:

\[ \frac{x}{36} = \frac{AM}{MB} \]

Также известен отрезок \( MN = 22 \) и отрезок \( AC = 55 \).

Сторона \( AC \) равна двум отрезкам: \( AN + NC = x + 36 = 55 \). Из этого можно найти \( x \):

\[ x + 36 = 55 \implies x = 55 - 36 = 19 \]

Теперь, используя \( AN = 19 \) и \( NC = 36 \), мы можем записать:

\[ \frac{AM}{MB} = \frac{19}{36} \]

Если обозначить \( MB = y \), тогда \( AM = \frac{19}{36} y \).

Так как \( AM + MB = AB \), мы можем выразить \( AB \):

\[ \frac{19}{36}y + y = AB \implies \frac{19 + 36}{36}y = AB \implies \frac{55}{36}y = AB \]

Таким образом, нам необходимо найти \( BN \). Но для этого нужно понимать, что \( BN = BC - NC \).

Обозначим сторону \( BC \) как \( z \). Из пропорциональности отрезков мы имеем:

\[ \frac{BN}{NC} = \frac{MB}{AB} \text{ и знаем, что } BN + NC = BC = z \]

Если обозначить \( BN = k \), то \( z = k + 36 \), и получаем пропорцию:

\[ \frac{k}{36} = \frac{y}{\frac{55}{36}y} = \frac{36}{55} \]

Теперь пересчитаем:

\[ k = 36 \cdot \frac{36}{55} \implies k = \frac{36 \cdot 36}{55} = \frac{1296}{55} \]

Итак, \( BN = \frac{1296}{55} \approx 23.527 \).

Подводя итог, \( BN \) оказывается равно:

\[ \frac{1296}{55} \text{ единиц.} \]