решить задачу

Решим данную систему линейных уравнений методом Крамера.

Дана система: \[ \begin{align*} 3x_1 + 2x_2 + x_3 &= 12 \\ 4x_1 - 2x_2 &= 4 \\ 3x_1 + 5x_2 &= 16 \\ \end{align*} \]

1. Определитель основной матрицы (\(D\)):

Составляем матрицу коэффициентов: \[ A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 4 & -2 & 0 \\ 3 & 5 & 0 \\ \end{pmatrix} \]

Находим определитель \(D\): \[ D = \begin{vmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 4 & -2 & 0 \\ 3 & 5 & 0 \\ \end{vmatrix} = 3 \cdot (-2 \cdot 0 - 5 \cdot 0) - 2 \cdot (4 \cdot 0 - 3 \cdot 0) + 1 \cdot (4 \cdot 5 - (-2) \cdot 3) = 0 + 0 + 1 \cdot (20 + 6) = 26 \]

2. Определители полученных матриц (\(D_1\), \(D_2\), \(D_3\)) для переменных:

• \(D_1\): заменяем первый столбец на столбец свободных членов \[ D_1 = \begin{vmatrix} 12 & 2 & 1 \\ 4 & -2 & 0 \\ 16 & 5 & 0 \\ \end{vmatrix} = 12 \cdot (-2 \cdot 0 - 5 \cdot 0) - 2 \cdot (4 \cdot 0 - 16 \cdot 0) + 1 \cdot (4 \cdot 5 - (-2) \cdot 16) = 0 + 0 + 1 \cdot (20 + 32) = 52 \]

• \(D_2\): заменяем второй столбец на столбец свободных членов \[ D_2 = \begin{vmatrix} 3 & 12 & 1 \\ 4 & 4 & 0 \\ 3 & 16 & 0 \\ \end{vmatrix} = 3 \cdot (4 \cdot 0 - 16 \cdot 0) - 12 \cdot (4 \cdot 0 - 3 \cdot 0) + 1 \cdot (4 \cdot 16 - 4 \cdot 3) = 0 + 0 + 1 \cdot (64 - 12) = 52 \]

• \(D_3\): заменяем третий столбец на столбец свободных членов \[ D_3 = \begin{vmatrix} 3 & 2 & 12 \\ 4 & -2 & 4 \\ 3 & 5 & 16 \\ \end{vmatrix} = 3 \cdot (-2 \cdot 16 - 5 \cdot 4) - 2 \cdot (4 \cdot 16 - 3 \cdot 4) + 12 \cdot (4 \cdot 5 - (-2) \cdot 3) = 3 \cdot (-32 - 20) - 2 \cdot (64 - 12) + 12 \cdot (20 + 6) = 3 \cdot (-52) - 2 \cdot 52 + 12 \cdot 26 = -156 - 104 + 312 = 52 \]

3. Решение:

\[ x_1 = \frac{D_1}{D} = \frac{52}{26} = 2 \] \[ x_2 = \frac{D_2}{D} = \frac{52}{26} = 2 \] \[ x_3 = \frac{D_3}{D} = \frac{52}{26} = 2 \]

Ответ: \(x_1 = 2\), \(x_2 = 2\), \(x_3 = 2\).