Самоствятельная работа №1 «Скалярное произведение векторов» Ne1. Заполните таблицу II вариант 150 180 30 60" 90 45" a Sina Cosa №2.Вычислите скалярное произведение векторов a b ab…

Давайте начнем с выполнения заданий по вашему самостоянтельному заданию.

1. Заполнение таблицы.

   Мы можем использовать следующие тригонометрические значения:

   Угол (°)	sin(α)	cos(α)
   0	0	1
   30	1/2	√3/2
   45	√2/2	√2/2
   60	√3/2	1/2
   90	1	0
   135	√2/2	-√2/2
   150	√3/2	-1/2
   180	0	-1

   Пожалуйста, проверьте значения для углов 150°, 180°, 30°, 60°, 90°, 45°.

2. Скалярное произведение векторов.

   Скалярное произведение векторов \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) можно вычислить по формуле:

   \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\theta) \]

   где \( |\vec{a}| \) и \( |\vec{b}| \) — длины векторов, а \( \theta \) — угол между ними.

   Пример 1: Если \( |\vec{a}| = 5 \), \( |\vec{b}| = 1.5 \), \( \theta = 60^\circ \):

   \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 5 \cdot 1.5 \cdot \cos(60°) = 5 \cdot 1.5 \cdot \frac{1}{2} = 3.75 \]

   Пример 2: Если \( |\vec{a}| = 4 \), \( |\vec{b}| = 8 \), \( \theta = 135^\circ \):

   \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot 8 \cdot \cos(135°) = 32 \cdot (-\frac{1}{\sqrt{2}}) = -16\sqrt{2} \approx -22.63 \]

   Проделайте аналогичные вычисления для других векторов.

3. Скалярное произведение векторов \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \), если \( \vec{a} = (4, -2) \) и \( \vec{b} = (-2, 4) \):

   \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot (-2) + (-2) \cdot 4 = -8 - 8 = -16 \]

4. При каком значении \( x \) векторы перпендикулярны?

   Векторы \( (2, -6) \) и \( (x, 4) \) перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю:

   \[ 2x + (-6) \cdot 4 = 0 \]

   Упростим уравнение:

   \[ 2x - 24 = 0 \] \[ 2x = 24 \] \[ x = 12 \]

Таким образом, значение \( x \) должно быть равно 12 для того, чтобы векторы были перпендикулярны.