ЗАДАНИЕ 7 Выберите один из нескольких вариантов 1. Прочитайте условие задачи. Из круглого бревна диаметра d надо вырезать балку прямоугольного сечения с основанием а и высотой h. При каких значениях а и h площадь сечения балки будет наибольшей? 2. Выразите переменную h через переменную а и параметр d. 3. Определите допустимые значения переменной а. 4. Введите переменную для площади сечения балки. Пусть она равна S. 5. Выразите переменную S через переменную а и параметр d. 6. Найдите производную функции S(a). 7. Найдите нули производной функции. 8. Найдите наибольшее значение функции S(a) на множестве допустимых значений переменной а. Из перечисленных ниже вариантов ответа выберите верный.

Чтобы решить задачу, давайте пройдем все шаги по порядку. ### Шаг 1: Условие задачи Из круглого бревна диаметра \(d\) нужно вырезать балку прямоугольного сечения с основанием \(a\) и высотой \(h\). Нам нужно максимум площади сечения балки \(S\). ### Шаг 2: Выражение \(h\) через \(a\) и \(d\) Так как бревно имеет диаметр \(d\), радиус \(R\) будет равен \(\frac{d}{2}\). Для прямоугольного сечения с основанием \(a\) и высотой \(h\) выполняется условие, что вершины прямоугольника должны находиться внутри окружности, описывающей бревно. Это можно выразить уравнением: \[ \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2 = R^2, \] где \(R = \frac{d}{2}\). Отсюда находим \(h\): \[ h = \sqrt{R^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} \cdot 2 = 2\sqrt{R^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = 2\sqrt{\left(\frac{d}{2}\right)^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2}. \] ### Шаг 3: Допустимые значения переменной \(a\) Поскольку высота \(h\) должна быть неотрицательной, необходимо, чтобы выполнено следующее неравенство: \[ \left(\frac{d}{2}\right)^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 \geq 0, \] что приводит к ограничению: \[ a \leq d. \] Кроме того, \(a\) также должно быть неотрицательным: \[ a \geq 0. \] Поэтому допустимые значения: \[ 0 \leq a \leq d. \] ### Шаг 4: Переменная для площади сечения балки Площадь сечения \(S\) будет равна: \[ S = a \cdot h. \] ### Шаг 5: Выражение \(S\) через \(a\) и \(d\) Подставим \(h\): \[ S(a) = a \cdot 2\sqrt{\left(\frac{d}{2}\right)^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = a \cdot 2\sqrt{\frac{d^2}{4} - \frac{a^2}{4}} = a \cdot \sqrt{d^2 - a^2}. \] ### Шаг 6: Производная функции \(S(a)\) Теперь найдем производную функции \(S(a)\): \[ S(a) = a \sqrt{d^2 - a^2}. \] С помощью правила произведения: \[ S'(a) = \sqrt{d^2 - a^2} + a \cdot \frac{1}{2\sqrt{d^2 - a^2}} \cdot (-2a) = \sqrt{d^2 - a^2} - \frac{a^2}{\sqrt{d^2 - a^2}}. \] Приведем к общему знаменателю: \[ S'(a) = \frac{(d^2 - a^2) - a^2}{\sqrt{d^2 - a^2}} = \frac{d^2 - 2a^2}{\sqrt{d^2 - a^2}}. \] ### Шаг 7: Нули производной функции Приравняем производную к нулю: \[ \frac{d^2 - 2a^2}{\sqrt{d^2 - a^2}} = 0 \implies d^2 - 2a^2 = 0 \implies a^2 = \frac{d^2}{2} \implies a = \frac{d}{\sqrt{2}}. \] ### Шаг 8: Наибольшее значение функции \(S(a)\) Теперь проверим, является ли \(a = \frac{d}{\sqrt{2}}\) максимумом: Проверим пределы: 1. \(S(0) = 0\) 2. \(S(d) = 0\) Подставим \(a = \frac{d}{\sqrt{2}}\): \[ S\left(\frac{d}{\sqrt{2}}\right) = \frac{d}{\sqrt{2}} \cdot 2\sqrt{\left(\frac{d}{2}\right)^2 - \left(\frac{d}{2\sqrt{2}}\right)^2} = \frac{d}{\sqrt{2}} \cdot 2\sqrt{\frac{d^2}{4} - \frac{d^2}{8}} = \frac{d}{\sqrt{2}} \cdot 2\sqrt{\frac{d^2}{8}} = \frac{d}{\sqrt{2}} \cdot \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{d^2}{2}. \] Таким образом, наибольшее значение площади сечения балки \(S\) будет равно \(\frac{d^2}{2}\), когда \(a = \frac{d}{\sqrt{2}}\) и \(h = \frac{d}{\sqrt{2}}\). Ответ на задание будет — наибольшее значение площади сечения равно \( \frac{d^2}{2} \).