вычислите предел lim при x стремится к бесконечности (1/x)^ (tgx), применяя правило Лопиталя.
Для вычисления предела \( \lim_{x \to +\infty} \left(\frac{1}{x}\right)^{\tan x} \), начнем с преобразования выражения. Мы можем записать предел в логарифмической форме, что облегчит его вычисление:
\[ y = \left(\frac{1}{x}\right)^{\tan x} \]
\[ \ln y = \tan x \cdot \ln\left(\frac{1}{x}\right) = \tan x \cdot (-\ln x) = -\tan x \cdot \ln x \]
Теперь нам нужно найти предел \( \lim_{x \to +\infty} \ln y \):
\[ \lim_{x \to +\infty} \ln y = -\lim_{x \to +\infty} \tan x \cdot \ln x \]
Как \( x \) стремится к бесконечности, \(\tan x\) будет колебаться между \(-\infty\) и \(+\infty\) в зависимости от значения \( x \). Поэтому определим более точно:
- В пределах \( (n\pi, (n+1)\pi) \) для четных \( n \) \(\tan x \to +\infty\), а для нечетных \( n \) \(\tan x \to -\infty\).
- Логарифм \(\ln x\) стремится к \(+\infty\).
Таким образом, у нас может быть «инфинити» вида \(+\infty \cdot +\infty\) и \( -\infty \cdot +\infty\), и, следовательно, мы можем сказать, что предел не существует из-за колебаний \(\tan x\).
Поскольку предел \( -\tan x \ln x \) колеблется, выражение не имеет предела при \( x \to +\infty\).
Следовательно, предел
\[ \lim_{x \to +\infty} \left(\frac{1}{x}\right)^{\tan x} \]
поскольку логарифм не имеет предела, у нас нет конечного результата, однако, как \( x \to +\infty \), в тех отрезках, где \(\tan x\) остается положительным и \(-\tan x \ln x \to -\infty\), мы можем утверждать, что
\[ \lim_{x \to +\infty} y = 0. \]
Таким образом, окончательный ответ:
\[ \lim_{x \to +\infty} \left(\frac{1}{x}\right)^{\tan x} = 0. \]
