Для вычисления предела ( \lim_{x \to +\infty} \left(\frac{1}{x}\right)^{\tan x} ), начнем с преобразования выражения. Мы можем записать предел в логарифмической форме, что облегчит его вычисление:
[
y = \left(\frac{1}{x}\right)^{\tan x}
]
[
\ln y = \tan x \cdot \ln\left(\frac{1}{x}\right) = \tan x \cdot (-\ln x) = -\tan x \cdot \ln x
]
Теперь нам нужно найти предел ( \lim_{x \to +\infty} \ln y ):
[
\lim_{x \to +\infty} \ln y = -\lim_{x \to +\infty} \tan x \cdot \ln x
]
Как ( x ) стремится к бесконечности, (\tan x) будет колебаться между (-\infty) и (+\infty) в зависимости от значения ( x ). Поэтому определим более точно:
- В пределах ( (n\pi, (n+1)\pi) ) для четных ( n ) (\tan x \to +\infty), а для нечетных ( n ) (\tan x \to -\infty).
- Логарифм (\ln x) стремится к (+\infty).
Таким образом, у нас может быть «инфинити» вида (+\infty \cdot +\infty) и ( -\infty \cdot +\infty), и, следовательно, мы можем сказать, что предел не существует из-за колебаний (\tan x).
Поскольку предел ( -\tan x \ln x ) колеблется, выражение не имеет предела при ( x \to +\infty).
Следовательно, предел
[
\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{1}{x}\right)^{\tan x}
]
поскольку логарифм не имеет предела, у нас нет конечного результата, однако, как ( x \to +\infty ), в тех отрезках, где (\tan x) остается положительным и (-\tan x \ln x \to -\infty), мы можем утверждать, что
[
\lim_{x \to +\infty} y = 0.
]
Таким образом, окончательный ответ:
[
\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{1}{x}\right)^{\tan x} = 0.
]
