отрезок EC - диаметр сферы. определи радиус сферы R и напиши уравнение сферы, если даны координаты точек E(0;1;2) и C(2;1;0)
Чтобы найти радиус сферы и уравнение сферы, сначала нам нужно определить радиус, который равен половине длины отрезка EC (диаметра сферы).
- Сначала найдем длину отрезка EC.
Формула для вычисления расстояния между двумя точками \(E(x_1, y_1, z_1)\) и \(C(x_2, y_2, z_2)\) в трехмерном пространстве выглядит следующим образом:
\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \]
Подставляя координаты точек \(E(0, 1, 2)\) и \(C(2, 1, 0)\):
\[ d = \sqrt{(2 - 0)^2 + (1 - 1)^2 + (0 - 2)^2} \] \[ d = \sqrt{(2)^2 + (0)^2 + (-2)^2} \] \[ d = \sqrt{4 + 0 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \]
- Радиус сферы \(R\) равен половине этого расстояния:
\[ R = \frac{d}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \]
- Теперь найдем центр сферы, который находится на середине отрезка EC. Координаты центра \(M\) можно найти как среднее арифметическое координат концов отрезка:
\[ M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2}\right) \]
Подставляя координаты \(E(0, 1, 2)\) и \(C(2, 1, 0)\):
\[ M\left(\frac{0 + 2}{2}, \frac{1 + 1}{2}, \frac{2 + 0}{2}\right) = M(1, 1, 1) \]
- Уравнение сферы с центром \(M(a, b, c)\) и радиусом \(R\) имеет вид:
\[ (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2 \]
Подставив значения \(a = 1\), \(b = 1\), \(c = 1\) и \(R = \sqrt{2}\):
\[ (x - 1)^2 + (y - 1)^2 + (z - 1)^2 = (\sqrt{2})^2 \] \[ (x - 1)^2 + (y - 1)^2 + (z - 1)^2 = 2 \]
Итак, уравнение сферы будет:
\[ (x - 1)^2 + (y - 1)^2 + (z - 1)^2 = 2 \]
