- Докажите равенство треугольников ABD и CBD (рис. 44), если AB= BC и zABD=zCBD.
Для доказательства равенства треугольников ABD и CBD по двум сторонам и углу (САС) необходимо показать:
- Стороны AB и BC равны по условию: ( AB = BC ).
- Углы ( \angle ABD = \angle CBD ) по условию: ( zABD = zCBD ).
Из этого следует, что треугольники ABD и CBD имеют два равных угла и одну сторону, следовательно, по критерию равенства треугольников по стороне и прилегающим углам (САС) треугольники равны: ( \triangle ABD \cong \triangle CBD ).
- Найдите стороны равнобедренного треугольника, если его периметр равен 30 см, а боковая сторона на 6 см меньше основания.
Обозначим основание треугольника как ( a ) и боковую сторону как ( b ).
По условию:
- Периметр ( P = a + 2b = 30 ).
- Боковая сторона меньше основания на 6 см: ( b = a - 6 ).
Подставим ( b ) в уравнение периметра:
[
a + 2(a - 6) = 30
]
[
a + 2a - 12 = 30
]
[
3a - 12 = 30
]
[
3a = 42
]
[
a = 14
]
Теперь найдем ( b ):
[
b = a - 6 = 14 - 6 = 8
]
Таким образом, стороны треугольника: основание 14 см, боковые стороны по 8 см.
- На основании АС равнобедренного треугольника АВС отметили точки М и К так, что ( \angle ABM = 2 \angle CBK ), точка М лежит между точками А и К. Докажите, что ( AM = CK ).
Обозначим ( \angle CBK = x ). Тогда ( \angle ABM = 2x ).
Так как треугольник АВС — равнобедренный, углы ( \angle A = \angle C ). Обозначим их как ( \alpha ). Тогда:
[
\angle ABC + \angle A + \angle C = 180^\circ
]
[
\angle ABC + 2\alpha = 180^\circ
]
Таким образом, ( \angle ABC = 180^\circ - 2\alpha ).
Поскольку точки М и К находятся на одной прямой, можно применить закон о внутреннем угле, чтобы выразить ( AM ) и ( CK ). В равнобедренном треугольнике, если углы при основании равны, то отрезки, проведенные из этих углов к основанию, равны. Следовательно:
[
AM = CK
]
- Найдите боковую сторону равнобедренного треугольника, если его периметр равен 30 см, основание равно 13 см.
Обозначим боковую сторону как ( b ).
Формула для периметра:
[
P = а + 2b = 30
]
Где основание треугольника ( a = 13 ).
Подставим значение ( a ) в уравнение:
[
13 + 2b = 30
]
Выровняем уравнение:
[
2b = 30 - 13
]
[
2b = 17
]
[
b = \frac{17}{2} = 8.5 \text{ см}
]
- Найти стороны треугольника, периметр которого 63 см, если одна из них в 3 раза меньше другой и на 13 см больше третьей.
Обозначим стороны треугольника как ( x ), ( 3x ) и ( y ).
По условию:
- Периметр: ( x + 3x + y = 63 )
- Из этого следует: ( 4x + y = 63 )
- Также ( x = y + 13 ).
Теперь подставим ( x = y + 13 ) в ( 4x + y = 63 ):
[
4(y + 13) + y = 63
]
[
4y + 52 + y = 63
]
[
5y + 52 = 63
]
[
5y = 11
]
[
y = \frac{11}{5} = 2.2
]
Следовательно,
[
x = y + 13 = 2.2 + 13 = 15.2
]
[
3x = 3 \times 15.2 = 45.6
]
Таким образом, стороны треугольника:
- ( x = 15.2 )
- ( 3x = 45.6 )
- ( y = 2.2 )
Стороны треугольника равны 2.2 см, 15.2 см и 45.6 см.
