1. Докажите равенство треугольников ABD и CBD (рис. 44), если AB= BC и zABD=zCBD. Рис. 44 2. Найдите стороны равнобедренного треугольника, если его периметр равен 30 см, а боковая…

1. Докажите равенство треугольников ABD и CBD (рис. 44), если AB= BC и zABD=zCBD.

Для доказательства равенства треугольников ABD и CBD по двум сторонам и углу (САС) необходимо показать:

• Стороны AB и BC равны по условию: \( AB = BC \).
• Углы \( \angle ABD = \angle CBD \) по условию: \( zABD = zCBD \).

Из этого следует, что треугольники ABD и CBD имеют два равных угла и одну сторону, следовательно, по критерию равенства треугольников по стороне и прилегающим углам (САС) треугольники равны: \( \triangle ABD \cong \triangle CBD \).

2. Найдите стороны равнобедренного треугольника, если его периметр равен 30 см, а боковая сторона на 6 см меньше основания.

Обозначим основание треугольника как \( a \) и боковую сторону как \( b \).

По условию:

• Периметр \( P = a + 2b = 30 \).
• Боковая сторона меньше основания на 6 см: \( b = a - 6 \).

Подставим \( b \) в уравнение периметра: \[ a + 2(a - 6) = 30 \] \[ a + 2a - 12 = 30 \] \[ 3a - 12 = 30 \] \[ 3a = 42 \] \[ a = 14 \] Теперь найдем \( b \): \[ b = a - 6 = 14 - 6 = 8 \] Таким образом, стороны треугольника: основание 14 см, боковые стороны по 8 см.

3. На основании АС равнобедренного треугольника АВС отметили точки М и К так, что \( \angle ABM = 2 \angle CBK \), точка М лежит между точками А и К. Докажите, что \( AM = CK \).

Обозначим \( \angle CBK = x \). Тогда \( \angle ABM = 2x \).

Так как треугольник АВС — равнобедренный, углы \( \angle A = \angle C \). Обозначим их как \( \alpha \). Тогда:

\[ \angle ABC + \angle A + \angle C = 180^\circ \] \[ \angle ABC + 2\alpha = 180^\circ \] Таким образом, \( \angle ABC = 180^\circ - 2\alpha \).

Поскольку точки М и К находятся на одной прямой, можно применить закон о внутреннем угле, чтобы выразить \( AM \) и \( CK \). В равнобедренном треугольнике, если углы при основании равны, то отрезки, проведенные из этих углов к основанию, равны. Следовательно:

\[ AM = CK \]

4. Найдите боковую сторону равнобедренного треугольника, если его периметр равен 30 см, основание равно 13 см.

Обозначим боковую сторону как \( b \).

Формула для периметра: \[ P = а + 2b = 30 \] Где основание треугольника \( a = 13 \).

Подставим значение \( a \) в уравнение: \[ 13 + 2b = 30 \] Выровняем уравнение: \[ 2b = 30 - 13 \] \[ 2b = 17 \] \[ b = \frac{17}{2} = 8.5 \text{ см} \]

5. Найти стороны треугольника, периметр которого 63 см, если одна из них в 3 раза меньше другой и на 13 см больше третьей.

Обозначим стороны треугольника как \( x \), \( 3x \) и \( y \).

По условию:

• Периметр: \( x + 3x + y = 63 \)
• Из этого следует: \( 4x + y = 63 \)
• Также \( x = y + 13 \).

Теперь подставим \( x = y + 13 \) в \( 4x + y = 63 \): \[ 4(y + 13) + y = 63 \] \[ 4y + 52 + y = 63 \] \[ 5y + 52 = 63 \] \[ 5y = 11 \] \[ y = \frac{11}{5} = 2.2 \]

Следовательно, \[ x = y + 13 = 2.2 + 13 = 15.2 \] \[ 3x = 3 \times 15.2 = 45.6 \]

Таким образом, стороны треугольника:

• \( x = 15.2 \)
• \( 3x = 45.6 \)
• \( y = 2.2 \)

Стороны треугольника равны 2.2 см, 15.2 см и 45.6 см.