Обозначим первый член арифметической прогрессии как ( a ), а разность прогрессии — как ( d ).
Сумма первых ( n ) членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:
[
S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a + (n-1)d)
]
Для первых 20 членов:
[
S_{20} = \frac{20}{2} \cdot (2a + 19d) = 10 \cdot (2a + 19d) = 360
]
Отсюда получаем:
[
2a + 19d = 36 \quad (1)
]
Для первых 24 членов:
[
S_{24} = \frac{24}{2} \cdot (2a + 23d) = 12 \cdot (2a + 23d) = 624
]
Отсюда получаем:
[
2a + 23d = 52 \quad (2)
]
Теперь у нас есть две линейные системы уравнений:
- ( 2a + 19d = 36 )
- ( 2a + 23d = 52 )
Вычтем первое уравнение из второго:
[
(2a + 23d) - (2a + 19d) = 52 - 36
]
Это упрощается до:
[
4d = 16 \implies d = 4
]
Теперь подставим значение ( d ) в одно из уравнений, например, в (1):
[
2a + 19 \cdot 4 = 36
]
Это дает:
[
2a + 76 = 36 \implies 2a = 36 - 76 \implies 2a = -40 \implies a = -20
]
Таким образом, первый член прогрессии ( a = -20 ), а разность ( d = 4 ).
Теперь формула для общего члена арифметической прогрессии выглядит так:
[
a_n = a + (n-1)d = -20 + (n-1) \cdot 4 = -20 + 4n - 4 = 4n - 24
]
Теперь найдём, какие значения ( n ) дают трёхзначные числа. Трёхзначные числа находятся в диапазоне от 100 до 999:
[
100 \leq 4n - 24 \leq 999
]
Решим первое неравенство:
[
4n - 24 \geq 100 \implies 4n \geq 124 \implies n \geq 31
]
Теперь решим второе неравенство:
[
4n - 24 \leq 999 \implies 4n \leq 1023 \implies n \leq 255.75
]
Поскольку ( n ) — это натуральное число, ( n ) может принимать значения от 31 до 255.
Теперь найдём количество целых чисел в этом диапазоне:
[
n_{\text{max}} - n_{\text{min}} + 1 = 255 - 31 + 1 = 225
]
Таким образом, в данной арифметической прогрессии содержится 225 положительных трёхзначных чисел.
