Сумма первых двадцати членов арифметической прогрессии равна 360, а сумма её первых двадцати четырёх членов равна 624. Сколько положительных трёхзначных чисел содержится в этой…

Обозначим первый член арифметической прогрессии как \( a \), а разность прогрессии — как \( d \).

Сумма первых \( n \) членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

\[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a + (n-1)d) \]

Для первых 20 членов:

\[ S_{20} = \frac{20}{2} \cdot (2a + 19d) = 10 \cdot (2a + 19d) = 360 \]

Отсюда получаем:

\[ 2a + 19d = 36 \quad (1) \]

Для первых 24 членов:

\[ S_{24} = \frac{24}{2} \cdot (2a + 23d) = 12 \cdot (2a + 23d) = 624 \]

Отсюда получаем:

\[ 2a + 23d = 52 \quad (2) \]

Теперь у нас есть две линейные системы уравнений:

1. \( 2a + 19d = 36 \)
2. \( 2a + 23d = 52 \)

Вычтем первое уравнение из второго:

\[ (2a + 23d) - (2a + 19d) = 52 - 36 \]

Это упрощается до:

\[ 4d = 16 \implies d = 4 \]

Теперь подставим значение \( d \) в одно из уравнений, например, в (1):

\[ 2a + 19 \cdot 4 = 36 \]

Это дает:

\[ 2a + 76 = 36 \implies 2a = 36 - 76 \implies 2a = -40 \implies a = -20 \]

Таким образом, первый член прогрессии \( a = -20 \), а разность \( d = 4 \).

Теперь формула для общего члена арифметической прогрессии выглядит так:

\[ a_n = a + (n-1)d = -20 + (n-1) \cdot 4 = -20 + 4n - 4 = 4n - 24 \]

Теперь найдём, какие значения \( n \) дают трёхзначные числа. Трёхзначные числа находятся в диапазоне от 100 до 999:

\[ 100 \leq 4n - 24 \leq 999 \]

Решим первое неравенство:

\[ 4n - 24 \geq 100 \implies 4n \geq 124 \implies n \geq 31 \]

Теперь решим второе неравенство:

\[ 4n - 24 \leq 999 \implies 4n \leq 1023 \implies n \leq 255.75 \]

Поскольку \( n \) — это натуральное число, \( n \) может принимать значения от 31 до 255.

Теперь найдём количество целых чисел в этом диапазоне:

\[ n_{\text{max}} - n_{\text{min}} + 1 = 255 - 31 + 1 = 225 \]

Таким образом, в данной арифметической прогрессии содержится 225 положительных трёхзначных чисел.