Найди площадь треугольника MNK , в котором ∠ = 45 ° ∠M=45° , из точки N проведена высота NQ , при этом = 5 MQ=5 мм, = 8 QK=8 мм.

Для нахождения площади треугольника \( MNK \) можно воспользоваться формулой площади через основание и высоту.

Сначала рассмотрим треугольник \( MNK \). Высота \( NQ \) опущена из вершины \( N \) на сторону \( MK \).

Из условия известно, что:

• угол \( \angle M = 45^\circ \)
• \( MQ = 5 \) мм
• \( QK = 8 \) мм

Мы можем также определить длину стороны \( MK \): \[ MK = MQ + QK = 5 + 8 = 13 \text{ мм} \]

Теперь, чтобы найти площадь треугольника \( MNK \), воспользуемся формулой для площади: \[ S = \frac{1}{2} \times основание \times высота \] где основание – это \( MK \), а высота – это \( NQ \).

Для нахождения высоты \( NQ \) обратим внимание на треугольник \( MQN \). Так как \( \angle M = 45^\circ \), то \( \angle NMQ = 45^\circ \) тоже (поскольку сумма углов в треугольнике равна 180°).

В треугольнике \( MQN \) применяем соотношения между сторонами и углом: \[ NQ = MQ \cdot \tan(\angle M) = MQ \cdot \tan(45^\circ) = MQ \]

Поскольку \( \tan(45^\circ) = 1 \), то: \[ NQ = MQ = 5 \text{ мм} \]

Теперь можно найти площадь треугольника \( MNK \): \[ S = \frac{1}{2} \times MK \times NQ = \frac{1}{2} \times 13 \times 5 = \frac{65}{2} = 32.5 \text{ мм}^2 \]

Таким образом, площадь треугольника \( MNK \) равна \( 32.5 \text{ мм}^2 \).