Докажи, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, найди его площадь, если A(12; 3), B(18; 12), C(6; 20) и D(0; 11). (Доказательство выполни в тетради и самостоятельно…

Чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, нам нужно проверить, что два его соседних угла образуют прямой угол. Для этого мы можем использовать векторное представление и скалярное произведение.

1. Найдем векторы сторон:

• Вектор AB: \( \vec{AB} = (B_x - A_x, B_y - A_y) = (18 - 12, 12 - 3) = (6, 9) \)
• Вектор BC: \( \vec{BC} = (C_x - B_x, C_y - B_y) = (6 - 18, 20 - 12) = (-12, 8) \)
• Вектор CD: \( \vec{CD} = (D_x - C_x, D_y - C_y) = (0 - 6, 11 - 20) = (-6, -9) \)
• Вектор DA: \( \vec{DA} = (A_x - D_x, A_y - D_y) = (12 - 0, 3 - 11) = (12, -8) \)

2. Проверим перпендикулярность векторов: Чтобы проверить, перпендикулярны ли векторы AB и BC, нам нужно вычислить скалярное произведение \( \vec{AB} \cdot \vec{BC} \): \[ \vec{AB} \cdot \vec{BC} = 6 \cdot (-12) + 9 \cdot 8 = -72 + 72 = 0 \] Так как скалярное произведение равно 0, векторы AB и BC перпендикулярны.

Теперь проверим ещё пару векторов (например, CD и DA): \[ \vec{CD} \cdot \vec{DA} = (-6) \cdot 12 + (-9) \cdot (-8) = -72 + 72 = 0 \] Так как и это скалярное произведение также равно 0, векторы CD и DA перпендикулярны.

Таким образом, мы показали, что ABCD — это прямоугольник.

3. Найдем площадь четырёхугольника: Площадь прямоугольника можно найти, используя длины его сторон. Длина AB (или CD) и длина BC (или DA) будут для нас важны.

• Найдем длину AB: \[ AB = \sqrt{(B_x - A_x)^2 + (B_y - A_y)^2} = \sqrt{(18 - 12)^2 + (12 - 3)^2} = \sqrt{6^2 + 9^2} = \sqrt{36 + 81} = \sqrt{117} \]

• Найдем длину BC: \[ BC = \sqrt{(C_x - B_x)^2 + (C_y - B_y)^2} = \sqrt{(6 - 18)^2 + (20 - 12)^2} = \sqrt{(-12)^2 + 8^2} = \sqrt{144 + 64} = \sqrt{208} \]

4. Теперь найдем площадь ABCD: Площадь прямоугольника вычисляется по формуле \( S = AB \cdot BC \): \[ S_{ABCD} = AB \cdot BC = \sqrt{117} \cdot \sqrt{208} = \sqrt{117 \cdot 208} \]

Посчитаем \( 117 \cdot 208 \): \[ 117 \cdot 208 = 24336 \] Таким образом, \[ S_{ABCD} = \sqrt{24336} = 156 \]

Ответ: \( S_{ABCD} = 156 \) (единиц площади).