Вариант 1 1. Докажите равенство треугольников ABF и CBD (рис. 42), если AB=BC и BF = BD. 2. Найдите стороны равнобедренного треугольника, если его периметр равен: 33 см, а основание на 3 см меньше боковой стороны. 3. На боковых сторонах АВ и ВС равнобедренного треугольника АВС отметили соответственно точки D и Е так, что ZACD=2CAE. Докажите, что AD=СЕ. 4. Найдите основание равнобедренного треугольника, если его периметр равен 98 см, а боковая сторона равна 31 см. Рис. 42 C 5. Найти стороны треугольника, периметр которого 65 см, если одна из них в 3 раза меньше другой и на 15 см больше третьей.

1. **Докажите равенство треугольников ABF и CBD.** Доказательство: - Из условия задачи известно, что AB = BC (по условию задачи). - Также BF = BD. - Угол AFB = угол CBD (вертикальные углы). Теперь мы можем записать, что треугольники ABF и CBD имеют по две стороны, равные между собой, и один угол между ними равен. Используя критерий равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними (SAS), мы можем заключить, что треугольники ABF и CBD равны: ABF ≅ CBD. 2. **Найдите стороны равнобедренного треугольника, если его периметр равен 33 см, а основание на 3 см меньше боковой стороны.** Обозначим боковую сторону за x. Тогда основание будет x - 3. Сумма сторон равнобедренного треугольника: \[ 2x + (x - 3) = 33 \] Упростим уравнение: \[ 3x - 3 = 33 \] \[ 3x = 36 \quad \Rightarrow \quad x = 12 \] Боковая сторона равна 12 см, а основание: \[ 12 - 3 = 9 \, \text{см}. \] Ответ: боковая сторона 12 см, основание 9 см. 3. **Докажите, что AD = CE.** Обозначим угол ACD как α, тогда угол EAC = 2α и угол ACB = α (по условию задачи). В равнобедренном треугольнике ABC имеем угол ACB = углу ACD, следовательно, отрезки AD и CE будут равны по равенству углов. Таким образом, AD = CE. 4. **Найдите основание равнобедренного треугольника, если его периметр равен 98 см, а боковая сторона равна 31 см.** Обозначим основание за x. Тогда: \[ 2 \cdot 31 + x = 98 \] Упростим уравнение: \[ 62 + x = 98 \] \[ x = 36 \, \text{см}. \] Ответ: основание равно 36 см. 5. **Найдите стороны треугольника, периметр которого 65 см, если одна из них в 3 раза меньше другой и на 15 см больше третьей.** Обозначим стороны как x, y и z. Пусть y = 3x и z = x + 15. Тогда: \[ x + 3x + (x + 15) = 65 \] Упростим уравнение: \[ 5x + 15 = 65 \] \[ 5x = 50 \quad \Rightarrow \quad x = 10 \] Тогда: \[ y = 3 \cdot 10 = 30 \quad \text{и} \quad z = 10 + 15 = 25. \] Ответ: стороны равны 10 см, 30 см и 25 см.