х^2<25

Чтобы решить неравенство \( x^2 < 25 \), нужно сначала преобразовать его:

1. Перенесите 25 в левую часть неравенства:

\[ x^2 - 25 < 0 \]

2. Заметьте, что это выражение можно факторизовать:

\[ (x - 5)(x + 5) < 0 \]

3. Теперь найдём корни этого уравнения, приравняв его к нулю:

\[ x - 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 5 \] \[ x + 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -5 \]

4. Эти корни разбивают числовую прямую на три промежутка:

• \( (-\infty, -5) \)
• \( (-5, 5) \)
• \( (5, +\infty) \)

5. Теперь нужно выяснить, на каких из этих интервалов произведение \( (x - 5)(x + 5) \) будет меньше нуля. Подставляем тестовые значения из каждого интервала:

• Для интервала \( (-\infty, -5) \) (например, \( x = -6 \)): \[ (-6 - 5)(-6 + 5) = (-11)(-1) = 11 > 0 \]

• Для интервала \( (-5, 5) \) (например, \( x = 0 \)): \[ (0 - 5)(0 + 5) = (-5)(5) = -25 < 0 \]

• Для интервала \( (5, +\infty) \) (например, \( x = 6 \)): \[ (6 - 5)(6 + 5) = (1)(11) = 11 > 0 \]

6. Таким образом, неравенство \( (x - 5)(x + 5) < 0 \) выполняется только на интервале \( (-5, 5) \).

7. Заключение: решение неравенства \( x^2 < 25 \) записывается как:

\[ x \in (-5, 5) \]

Это значит, что \( x \) может принимать значения от -5 до 5, не включая сами границы.