Обозначим длину одной стороны прямоугольника как ( a ), а длину другой стороны как ( b = 30 ).
Согласно условию, отношение стороны ( a ) к диагонали ( d ) равняется ( 4:5 ). Выразим диагональ с помощью теоремы Пифагора:
[
d = \sqrt{a^2 + b^2}
]
Также по условию отношения у нас есть:
[
\frac{a}{d} = \frac{4}{5}
]
или
[
a = \frac{4}{5} d
]
Подставим выражение для диагонали в формулу:
[
a = \frac{4}{5} \sqrt{a^2 + 30^2}
]
Возведем в квадрат обе части уравнения:
[
a^2 = \left(\frac{4}{5}\right)^2 (a^2 + 900)
]
Упростим:
[
a^2 = \frac{16}{25} (a^2 + 900)
]
Умножим обе стороны на 25:
[
25a^2 = 16(a^2 + 900)
]
Раскроем скобки:
[
25a^2 = 16a^2 + 14400
]
Переносим все на одну сторону:
[
25a^2 - 16a^2 = 14400
]
[
9a^2 = 14400
]
Разделим на 9:
[
a^2 = 1600
]
Теперь найдём ( a ):
[
a = \sqrt{1600} = 40
]
Теперь можем найти площадь прямоугольника:
[
S = a \cdot b = 40 \cdot 30 = 1200
]
Таким образом, площадь прямоугольника равна ( 1200 ) квадратных единиц.
