Сторона прямоугольника относится к его диагонали как 4:5 а другая сторона равна 30. Найдите площадь прямоугольника

Обозначим длину одной стороны прямоугольника как \( a \), а длину другой стороны как \( b = 30 \).

Согласно условию, отношение стороны \( a \) к диагонали \( d \) равняется \( 4:5 \). Выразим диагональ с помощью теоремы Пифагора:

\[ d = \sqrt{a^2 + b^2} \]

Также по условию отношения у нас есть:

\[ \frac{a}{d} = \frac{4}{5} \]

или

\[ a = \frac{4}{5} d \]

Подставим выражение для диагонали в формулу:

\[ a = \frac{4}{5} \sqrt{a^2 + 30^2} \]

Возведем в квадрат обе части уравнения:

\[ a^2 = \left(\frac{4}{5}\right)^2 (a^2 + 900) \]

Упростим:

\[ a^2 = \frac{16}{25} (a^2 + 900) \]

Умножим обе стороны на 25:

\[ 25a^2 = 16(a^2 + 900) \]

Раскроем скобки:

\[ 25a^2 = 16a^2 + 14400 \]

Переносим все на одну сторону:

\[ 25a^2 - 16a^2 = 14400 \]

\[ 9a^2 = 14400 \]

Разделим на 9:

\[ a^2 = 1600 \]

Теперь найдём \( a \):

\[ a = \sqrt{1600} = 40 \]

Теперь можем найти площадь прямоугольника:

\[ S = a \cdot b = 40 \cdot 30 = 1200 \]

Таким образом, площадь прямоугольника равна \( 1200 \) квадратных единиц.