Пусть b1-первый член бесконечной геометрической прогрессии,q-ее знаменатель,S-сумма членовПо двум значениям найдите значение третьего.b1=90,bn=3 1/3,n=4.Найти q,Sn
В бесконечной геометрической прогрессии первый член обозначается как \( b_1 \), знаменатель как \( q \), а сумма первых \( n \) членов как \( S_n \).
- Известно, что первый член \( b_1 = 90 \).
- Четвёртый член прогрессии \( b_n = 3 \frac{1}{3} = \frac{10}{3} \).
Формула для \( n \)-го члена геометрической прогрессии: \[ b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \]
Подставим известные значения: \[ \frac{10}{3} = 90 \cdot q^{4-1} \] \[ \frac{10}{3} = 90q^3 \] Теперь выразим \( q^3 \): \[ q^3 = \frac{10/3}{90} = \frac{10}{3 \cdot 90} = \frac{10}{270} = \frac{1}{27} \] Теперь найдём \( q \) из \( q^3 = \frac{1}{27} \): \[ q = \sqrt[3]{\frac{1}{27}} = \frac{1}{3} \]
Теперь, когда мы нашли \( q \), можем вычислить сумму первых \( n \) членов (\( S_n \)): Формула суммы первых \( n \) членов геометрической прогрессии: \[ S_n = \frac{b_1 (1 - q^n)}{1 - q} \]
Подставим \( n = 4 \), \( b_1 = 90 \), и \( q = \frac{1}{3} \): \[ S_4 = \frac{90 \left(1 - \left(\frac{1}{3}\right)^4\right)}{1 - \frac{1}{3}} \] Сначала найдём \( \left(\frac{1}{3}\right)^4 = \frac{1}{81} \): \[ S_4 = \frac{90 \left(1 - \frac{1}{81}\right)}{\frac{2}{3}} = \frac{90 \left(\frac{80}{81}\right)}{\frac{2}{3}} \] Упростим это выражение: \[ S_4 = 90 \times \frac{80}{81} \times \frac{3}{2} = \frac{90 \times 80 \times 3}{81 \times 2} \] \[ = \frac{21600}{162} = \frac{1200}{9} = 133.33 \]
Таким образом, результаты:
- \( q = \frac{1}{3} \)
- \( S_4 \approx 133.33 \)
