Для решения этой задачи мы сначала найдем радиус и высоту цилиндра, а затем используем их для нахождения радиуса описанной сферы.
Объем цилиндра вычисляется по формуле:
[
V = \pi r^2 h,
]
где (r) — радиус основания цилиндра, (h) — высота цилиндра.
Площадь осевого сечения (круг) равна:
[
S = \pi r^2.
]
Дано, что:
[
V = 192 , \text{см}^3,
]
[
S = 24 , \text{см}^2.
]
Из формулы для площади осевого сечения находим радиус:
[
\pi r^2 = 24 \Rightarrow r^2 = \frac{24}{\pi} \Rightarrow r = \sqrt{\frac{24}{\pi}}.
]
Теперь подставим значение радиуса (r) в формулу для объема и найдем высоту (h):
[
192 = \pi \left(\sqrt{\frac{24}{\pi}}\right)^2 h,
]
[
192 = \pi \cdot \frac{24}{\pi} \cdot h,
]
[
192 = 24h \Rightarrow h = \frac{192}{24} = 8 , \text{см}.
]
Теперь у нас есть радиус (r) и высота (h) цилиндра:
[
r = \sqrt{\frac{24}{\pi}} \quad \text{и} \quad h = 8.
]
Радиус описанной сферы (R) вокруг цилиндра равен:
[
R = \sqrt{r^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2} = \sqrt{r^2 + \left(4\right)^2}.
]
Подставляем (r^2 = \frac{24}{\pi}):
[
R = \sqrt{\frac{24}{\pi} + 16}.
]
Теперь находим площадь сферы:
[
S_{sphere} = 4\pi R^2 = 4\pi\left(\frac{24}{\pi} + 16\right).
]
Упрощаем:
[
= 4\pi\left(\frac{24 + 16\pi}{\pi}\right).
]
Таким образом, получаем:
[
S_{sphere} = 4(24 + 16\pi) \approx 96 + 64\pi , \text{см}^2.
]
Это и есть площадь сферы, описанной около цилиндра.
