Объем цилиндра равен 192 п см, а площадь его осевого сечения 24 см³. Найдите площадь сферы, описанной около цилиндра

Для решения этой задачи мы сначала найдем радиус и высоту цилиндра, а затем используем их для нахождения радиуса описанной сферы.

Объем цилиндра вычисляется по формуле: \[ V = \pi r^2 h, \] где \(r\) — радиус основания цилиндра, \(h\) — высота цилиндра.

Площадь осевого сечения (круг) равна: \[ S = \pi r^2. \]

Дано, что: \[ V = 192 \, \text{см}^3, \] \[ S = 24 \, \text{см}^2. \]

Из формулы для площади осевого сечения находим радиус: \[ \pi r^2 = 24 \Rightarrow r^2 = \frac{24}{\pi} \Rightarrow r = \sqrt{\frac{24}{\pi}}. \]

Теперь подставим значение радиуса \(r\) в формулу для объема и найдем высоту \(h\): \[ 192 = \pi \left(\sqrt{\frac{24}{\pi}}\right)^2 h, \] \[ 192 = \pi \cdot \frac{24}{\pi} \cdot h, \] \[ 192 = 24h \Rightarrow h = \frac{192}{24} = 8 \, \text{см}. \]

Теперь у нас есть радиус \(r\) и высота \(h\) цилиндра: \[ r = \sqrt{\frac{24}{\pi}} \quad \text{и} \quad h = 8. \]

Радиус описанной сферы \(R\) вокруг цилиндра равен: \[ R = \sqrt{r^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2} = \sqrt{r^2 + \left(4\right)^2}. \] Подставляем \(r^2 = \frac{24}{\pi}\): \[ R = \sqrt{\frac{24}{\pi} + 16}. \]

Теперь находим площадь сферы: \[ S_{sphere} = 4\pi R^2 = 4\pi\left(\frac{24}{\pi} + 16\right). \]

Упрощаем: \[ = 4\pi\left(\frac{24 + 16\pi}{\pi}\right). \] Таким образом, получаем: \[ S_{sphere} = 4(24 + 16\pi) \approx 96 + 64\pi \, \text{см}^2. \]

Это и есть площадь сферы, описанной около цилиндра.