Чтобы определить, какие выражения можно подставить вместо ( A ) и ( B ) для превращения данных равенств в тождества, нужно, в первую очередь, привести каждое из уравнений к стандартному виду и выявить их закономерности.
Будем разбирать каждое из заданий по порядку:
а) ( (6d^5 + A)^2 = B + 25c^2 )
Рассмотрим левую часть:
[
(6d^5 + A)^2 = 36d^{10} + 12Ad^5 + A^2
]
Правая часть упрощается в:
[
B + 25c^2
]
Чтобы равенство стало тождеством, необходимо, чтобы ( B ) содержало все члены степени ( d ) и возможные добавочные члены. Например, можно взять:
[
A = 0, , B = 36d^{10} + 12Ad^5 + A^2 - 25c^2
]
б) ( (2x - 4)^2 + (3x + 5)^2 - A = B^2 )
Сначала вычисляем:
[
(2x - 4)^2 = 4x^2 - 16x + 16 \quad \text{и} \quad (3x + 5)^2 = 9x^2 + 30x + 25
]
Сложим эти выражения:
[
4x^2 - 16x + 16 + 9x^2 + 30x + 25 = 13x^2 + 14x + 41
]
Получаем:
[
13x^2 + 14x + 41 - A = B^2
]
Чтобы это стало тождеством в отношении ( A ) и ( B ), можно взять, например:
[
A = 41, ; B = \sqrt{13x^2 + 14x}
]
в) ( (62 + 3)^2 + (82 - 1)^2 - (A - B)^2 = 9 )
Вычислим левую сторону:
[
(62 + 3)^2 = 65^2 = 4225 \quad \text{и} \quad (82 - 1)^2 = 81^2 = 6561
]
Тогда:
[
4225 + 6561 - (A - B)^2 = 9
]
Суммируем:
[
10786 - (A - B)^2 = 9
]
Отсюда:
[
(A - B)^2 = 10777
]
Так что можно подставить, например:
[
A = B \pm \sqrt{10777}
]
г) ( (3y - 4)^2 + (4y - 7)^2 - (A - B)^2 = 1 )
Сначала вычислим:
[
(3y - 4)^2 = 9y^2 - 24y + 16 \quad \text{и} \quad (4y - 7)^2 = 16y^2 - 56y + 49
]
Суммируем:
[
9y^2 - 24y + 16 + 16y^2 - 56y + 49 = 25y^2 - 80y + 65
]
Так что:
[
25y^2 - 80y + 65 - (A - B)^2 = 1
]
Отсюда:
[
(A - B)^2 = 25y^2 - 80y + 64
]
И подставить ( A ) и ( B ) можно, например, как:
[
A = B \pm \sqrt{25y^2 - 80y + 64}
]
Итак, обобщенно, подстановки могут быть следующими:
- ( A ) и ( B ) определяются через выражения, полученные из уравнений из левой части.
- Для формирования тождества используются корни квадратных сумм, так чтобы обе стороны уравнения совпадали.
