В невыпуклом четырёхугольнике AQCD попарно равны стороны (рис. 18). Докажите, AQ = QC AD = CD что прямые, диагонали такого четырёхуголь ника, перпендикулярны друг другу.
Для доказательства того, что диагонали невыпуклого четырёхугольника AQCD, в котором стороны AQ = QC и AD = CD, перпендикулярны друг другу, воспользуемся свойствами таких четырёхугольников и теорией о равных сторонах.
Обозначим равные стороны: \( AQ = QC = a \) \( AD = CD = b \)
Так как стороны противоположные четырехугольника равны и по определению, он является симметричным относительно своей диагонали, можно провести диагонали AC и QD.
Из-за того, что AQ = QC, точки A и C являются равн distances от точки Q, что означает симметричность точек A и C относительно точки Q.
Аналогично, так как AD = CD, точки A и D также являются равн distances от точки C относительно точки D.
Теперь рассмотрим треугольники AQC и DQC. Эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними (например, \( \angle AQC \) и \( \angle DQC \) равны, поскольку стороны AQ и QC равны, и AH = DH по определению равных сторон).
Следовательно, по свойству равенства треугольников \( \triangle AQC \cong \triangle DQC \), то есть их углы равны, и в частности \( \angle AQC = \angle DQC \).
Теперь рассмотрим угол, образованный диагоналями AC и QD. Поскольку эти диагонали пересекаются в точке пересечения O, имеем \( \angle AOB + \angle COD = 180^\circ \), что также приводит к \( \angle AOD + \angle BOC = 90^\circ \).
Таким образом, это удовлетворяет условию перпендикулярности диагоналей, что и требовалось доказать.
В итоге, мы показали, что при равенстве сторон AQ = QC и AD = CD, диагонали четырехугольника AQCD действительно перпендикулярны друг другу.
