Задача Задача №2654946
А
А
найдите точку максимума функции у=х3-108х+5
Чтобы найти точку максимума функции \( y = x^3 - 108x + 5 \), необходимо найти первую производную функции и определить критические точки.
- Найдём первую производную \( y' \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 108x + 5) = 3x^2 - 108 \]
- Теперь установим производную равной нулю, чтобы найти критические точки:
\[ 3x^2 - 108 = 0 \]
Разделим обе стороны на 3:
\[ x^2 - 36 = 0 \]
Решим уравнение:
\[ x^2 = 36 \implies x = 6 \quad \text{или} \quad x = -6 \]
- Теперь нужно определить, является ли каждая из найденных точек максимумом или минимумом. Для этого найдём вторую производную:
\[ y'' = \frac{d}{dx}(3x^2 - 108) = 6x \]
Теперь подставим критические точки в вторую производную:
- Для \( x = 6 \):
\[ y''(6) = 6 \cdot 6 = 36 > 0 \quad (\text{минимум}) \]
- Для \( x = -6 \):
\[ y''(-6) = 6 \cdot (-6) = -36 < 0 \quad (\text{максимум}) \]
Таким образом, точка максимума функции \( y = x^3 - 108x + 5 \) находится в \( x = -6 \).
- Чтобы найти соответствующее значение функции в этой точке, подставим \( x = -6 \) в исходную функцию:
\[ y(-6) = (-6)^3 - 108 \cdot (-6) + 5 = -216 + 648 + 5 = 437 \]
Итак, точка максимума функции — это \( (-6, 437) \).
