Найдите точку максимума функции у=х3-108х+5

Чтобы найти точку максимума функции \( y = x^3 - 108x + 5 \), необходимо найти первую производную функции и определить критические точки. 1. Найдём первую производную \( y' \): \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 108x + 5) = 3x^2 - 108 \] 2. Теперь установим производную равной нулю, чтобы найти критические точки: \[ 3x^2 - 108 = 0 \] Разделим обе стороны на 3: \[ x^2 - 36 = 0 \] Решим уравнение: \[ x^2 = 36 \implies x = 6 \quad \text{или} \quad x = -6 \] 3. Теперь нужно определить, является ли каждая из найденных точек максимумом или минимумом. Для этого найдём вторую производную: \[ y'' = \frac{d}{dx}(3x^2 - 108) = 6x \] Теперь подставим критические точки в вторую производную: - Для \( x = 6 \): \[ y''(6) = 6 \cdot 6 = 36 > 0 \quad (\text{минимум}) \] - Для \( x = -6 \): \[ y''(-6) = 6 \cdot (-6) = -36 < 0 \quad (\text{максимум}) \] Таким образом, точка максимума функции \( y = x^3 - 108x + 5 \) находится в \( x = -6 \). 4. Чтобы найти соответствующее значение функции в этой точке, подставим \( x = -6 \) в исходную функцию: \[ y(-6) = (-6)^3 - 108 \cdot (-6) + 5 = -216 + 648 + 5 = 437 \] Итак, точка максимума функции — это \( (-6, 437) \).