В цилинд вписана правильная треугольная призма со стороной основания 4 см и высотой 12 см. Найдите полную поверхность цилиндра
Для решения данной задачи нам необходимо найти радиус основания цилиндра и его высоту.
Высота цилиндра равна высоте призмы, то есть \( h_{цилиндра} = 12 \) см.
Радиус основания цилиндра определяется по окружности, в которую вписывается основание призмы. Поскольку основание призмы представляет собой правильный треугольник со стороной \( a = 4 \) см, рассчитаем радиус описанной окружности треугольника.
Радиус описанной окружности \( R \) правильного треугольника можно найти по формуле: \[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} \] Подставляем значение стороны: \[ R = \frac{4}{\sqrt{3}} \approx 2.31 \, \text{см} \]
Площадь основания цилиндра (круг): \[ S_{основания} = \pi R^2 = \pi \left(\frac{4}{\sqrt{3}}\right)^2 = \pi \cdot \frac{16}{3} \approx 16.76 \, \text{см}^2 \]
Площадь боковой поверхности цилиндра: \[ S_{боковой} = 2 \pi R h = 2 \pi \left(\frac{4}{\sqrt{3}}\right) \cdot 12 = \frac{96 \pi}{\sqrt{3}} \approx 110.43 \, \text{см}^2 \]
Полная поверхность цилиндра находиться по формуле: \[ S_{полная} = 2 S_{основания} + S_{боковой} \] Подставим значения: \[ S_{полная} = 2 \cdot \frac{16 \pi}{3} + \frac{96 \pi}{\sqrt{3}} \] Приведем к общему знаменателю: \[ S_{полная} = \frac{32 \pi}{3} + \frac{96 \pi \cdot \sqrt{3}}{3} = \frac{32 \pi + 96 \pi \sqrt{3}}{3} \]
Таким образом, полная поверхность цилиндра равна: \[ S_{полная} = \frac{32 \pi + 96 \pi \sqrt{3}}{3} \, \text{см}^2 \] Для численного значения подставим \( \pi \approx 3.14 \) и \( \sqrt{3} \approx 1.732 \): \[ S_{полная} \approx \frac{32 \cdot 3.14 + 96 \cdot 3.14 \cdot 1.732}{3} \approx \frac{100.48 + 525.48}{3} \approx \frac{625.96}{3} \approx 208.65 \, \text{см}^2 \]
Ответ: Полная поверхность цилиндра примерно равна \( 208.65 \, \text{см}^2 \).
