Практическая работа «Испытание Бернулли» Вариант 2 Округлить ответ до тысячных (если это возможно) 1. Игральную кость бросают до тех пор, пока не выпадет шестерка. Найти…

Давайте решим задачи по порядку.

Задача 1:

Игральную кость бросают до тех пор, пока не выпадет шестерка. Искать вероятность того, что будет сделано 6 бросков.

Вероятность не выпасть шестерке за 5 бросков = (5/6)^5. Вероятность выпасть шестерке на 6-м броске = 1/6.

Таким образом, искомая вероятность:

\[ P(6 \text{ бросков}) = \left( \frac{5}{6} \right)^5 \cdot \frac{1}{6} \]

\[ P(6) = \left( \frac{5}{6} \right)^5 \cdot \frac{1}{6} = \frac{3125}{7776} \approx 0.402 \]

Задача 2:

Выпишите все элементарные события, благоприятствующие: а) 9 успехам из 16 испытаний; б) 8 успехам из 11 испытаний.

Здесь мы можем использовать биномиальные коэффициенты для подсчета количества благоприятствующих исходов:

• а) Количество благоприятных исходов = C(16, 9) = \(\frac{16!}{9!(16-9)!} = \frac{16!}{9!7!}\)
• б) Количество благоприятных исходов = C(11, 8) = \(\frac{11!}{8!(11-8)!} = \frac{11!}{8!3!}\)

В случае а)

\[ C(16, 9) = \frac{16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 11440 \]

В случае б)

\[ C(11, 8) = C(11, 3) = \frac{11 \times 10 \times 9}{3 \times 2 \times 1} = 165 \]

Задача 3:

Игральная кость бросается 6 раз. Какова вероятность того, что шестерка выпадет 4 раза?

Это относится к биномиальному распределению, где:

\[ P(X = k) = C(n, k) p^k (1-p)^{n-k} \]

где:

• \( n = 6 \)
• \( k = 4 \)
• \( p = \frac{1}{6} \)

Итак:

\[ P(X = 4) = C(6, 4) \left(\frac{1}{6}\right)^4 \left(\frac{5}{6}\right)^{2} \]

\[ C(6, 4) = \frac{6!}{4!2!} = 15 \]

Следовательно:

\[ P = 15 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^4 \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^{2} \]

\[ = 15 \cdot \frac{1}{1296} \cdot \frac{25}{36} \approx 0.056 \] (округлено до тысячных)

Задача 4:

Проводится серия из 13 испытаний Бернулли. Каких элементарных событий больше: тех, в которых 5 успехов или 8 успехов?

Используем биномиальные коэффициенты:

• \( C(13, 5) \) и \( C(13, 8) \), но \( C(13, 8) = C(13, 5) \).

Значит, количество элементарных событий одинаково для 5 и 8 успехов.

Задача 5:

Стрелок три раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,7. Найдите вероятность того, что стрелок первые два раза попал в мишени, а последний раз промахнулся.

Вероятность:

\[ P = P(\text{попал})^2 \cdot P(\text{промахнулся}) \]

\[ P = (0.7)^2 \cdot (1-0.7) = 0.49 \cdot 0.3 = 0.147 \]

Задача 6:

На тарелке лежат пирожки, одинаковые на вид: 4 с мясом, 8 с капустой и 3 с яблоками. Петя наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что пирожок окажется с яблоками.

Общее количество пирожков = 4 + 8 + 3 = 15.

Вероятность выбрать пирожок с яблоками:

\[ P(\text{пирожок с яблоками}) = \frac{3}{15} = \frac{1}{5} \approx 0.200 \]

Это все решения ваших задач.