Давайте решим задачи по порядку.
Задача 1:
Игральную кость бросают до тех пор, пока не выпадет шестерка. Искать вероятность того, что будет сделано 6 бросков.
Вероятность не выпасть шестерке за 5 бросков = (5/6)^5. Вероятность выпасть шестерке на 6-м броске = 1/6.
Таким образом, искомая вероятность:
[ P(6 \text{ бросков}) = \left( \frac{5}{6} \right)^5 \cdot \frac{1}{6} ]
[ P(6) = \left( \frac{5}{6} \right)^5 \cdot \frac{1}{6} = \frac{3125}{7776} \approx 0.402 ]
Задача 2:
Выпишите все элементарные события, благоприятствующие:
а) 9 успехам из 16 испытаний;
б) 8 успехам из 11 испытаний.
Здесь мы можем использовать биномиальные коэффициенты для подсчета количества благоприятствующих исходов:
- а) Количество благоприятных исходов = C(16, 9) = (\frac{16!}{9!(16-9)!} = \frac{16!}{9!7!})
- б) Количество благоприятных исходов = C(11, 8) = (\frac{11!}{8!(11-8)!} = \frac{11!}{8!3!})
В случае а)
[ C(16, 9) = \frac{16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 11440 ]
В случае б)
[ C(11, 8) = C(11, 3) = \frac{11 \times 10 \times 9}{3 \times 2 \times 1} = 165 ]
Задача 3:
Игральная кость бросается 6 раз. Какова вероятность того, что шестерка выпадет 4 раза?
Это относится к биномиальному распределению, где:
[ P(X = k) = C(n, k) p^k (1-p)^{n-k} ]
где:
- ( n = 6 )
- ( k = 4 )
- ( p = \frac{1}{6} )
Итак:
[ P(X = 4) = C(6, 4) \left(\frac{1}{6}\right)^4 \left(\frac{5}{6}\right)^{2} ]
[ C(6, 4) = \frac{6!}{4!2!} = 15 ]
Следовательно:
[ P = 15 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^4 \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^{2} ]
[ = 15 \cdot \frac{1}{1296} \cdot \frac{25}{36} \approx 0.056 ] (округлено до тысячных)
Задача 4:
Проводится серия из 13 испытаний Бернулли. Каких элементарных событий больше: тех, в которых 5 успехов или 8 успехов?
Используем биномиальные коэффициенты:
- ( C(13, 5) ) и ( C(13, 8) ), но ( C(13, 8) = C(13, 5) ).
Значит, количество элементарных событий одинаково для 5 и 8 успехов.
Задача 5:
Стрелок три раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,7. Найдите вероятность того, что стрелок первые два раза попал в мишени, а последний раз промахнулся.
Вероятность:
[ P = P(\text{попал})^2 \cdot P(\text{промахнулся}) ]
[ P = (0.7)^2 \cdot (1-0.7) = 0.49 \cdot 0.3 = 0.147 ]
Задача 6:
На тарелке лежат пирожки, одинаковые на вид: 4 с мясом, 8 с капустой и 3 с яблоками. Петя наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что пирожок окажется с яблоками.
Общее количество пирожков = 4 + 8 + 3 = 15.
Вероятность выбрать пирожок с яблоками:
[ P(\text{пирожок с яблоками}) = \frac{3}{15} = \frac{1}{5} \approx 0.200 ]
Это все решения ваших задач.
