Для решения этой задачи мы можем использовать биномиальное распределение. Если событие ( A ) происходит с вероятностью ( p = 0.6 ) в одном испытании, а количество испытаний ( n = 4 ), то вероятность того, что событие ( A ) появится ( k ) раз (где ( k ) составляет 0, 1, 2, 3 или 4) можно найти по формуле:
[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}
]
где ( C(n, k) ) — биномиальный коэффициент, определяемый как:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
]
Чтобы найти вероятность того, что событие ( A ) появится не менее трех раз, нам нужно найти ( P(X \geq 3) ), что равнозначно ( P(X = 3) + P(X = 4) ).
- Вероятность того, что событие A появится ровно 3 раза:
[
P(X = 3) = C(4, 3) \cdot (0.6)^3 \cdot (0.4)^1
]
Вычислим биномиальный коэффициент:
[
C(4, 3) = \frac{4!}{3!(4-3)!} = 4
]
Теперь подставим значения:
[
P(X = 3) = 4 \cdot (0.6)^3 \cdot (0.4)^1 = 4 \cdot 0.216 \cdot 0.4 = 4 \cdot 0.0864 = 0.3456
]
- Вероятность того, что событие A появится ровно 4 раза:
[
P(X = 4) = C(4, 4) \cdot (0.6)^4 \cdot (0.4)^0
]
Вычисляем биномиальный коэффициент:
[
C(4, 4) = 1
]
Теперь подставим значения:
[
P(X = 4) = 1 \cdot (0.6)^4 \cdot (0.4)^0 = 1 \cdot 0.1296 \cdot 1 = 0.1296
]
- Теперь найдем ( P(X \geq 3) ):
[
P(X \geq 3) = P(X = 3) + P(X = 4) = 0.3456 + 0.1296 = 0.4752
]
Таким образом, вероятность того, что событие ( A ) появится не менее трех раз в четырех независимых испытаниях, равна 0.4752 или 47.52%.
