Давайте обозначим скорость первого насоса как ( x ) литров в минуту. Тогда скорость второго насоса будет ( x + 15 ) литров в минуту.
Время, необходимое первому насосу для заполнения резервуара, можно выразить как:
[
\frac{100}{x}
]
Для второго насоса время будет:
[
\frac{100}{x + 15}
]
По условию задачи первый насос наполняет резервуар на 6 минут дольше, чем второй. Это можно записать как уравнение:
[
\frac{100}{x} = \frac{100}{x + 15} + 6
]
Теперь решим это уравнение.
Умножим обе части на ( x(x + 15) ):
[
100(x + 15) = 100x + 6x(x + 15)
]
Раскроем скобки:
[
100x + 1500 = 100x + 6x^2 + 90x
]
Сократим ( 100x ) с обеих сторон:
[
1500 = 6x^2 + 90x
]
Перепишем уравнение:
[
6x^2 + 90x - 1500 = 0
]
Чтобы упростить, разделим все элементы на 6:
[
x^2 + 15x - 250 = 0
]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дис discriminant.:
[
D = b^2 - 4ac = 15^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-250) = 225 + 1000 = 1225
]
Теперь найдем корни уравнения:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-15 \pm 35}{2}
]
Получим два значения:
- ( x = \frac{20}{2} = 10 )
- ( x = \frac{-50}{2} = -25 ) (отрицательное значение не имеет смысла в данном контексте).
Таким образом, скорость первого насоса ( x = 10 ) литров в минуту. Тогда скорость второго насоса:
[
x + 15 = 10 + 15 = 25 \text{ литров в минуту.}
]
Ответ: второй насос накачивает 25 литров воды в минуту.
