Для решения этой задачи обозначим:
- ( v ) — скорость моторной лодки в неподвижной воде (км/ч).
- Скорость течения равна ( 3 ) км/ч.
Когда лодка движется по течению, ее скорость составляет ( v + 3 ) км/ч, а при движении против течения — ( v - 3 ) км/ч.
Движение лодки в одну сторону (по течению) и обратно (против течения) создаёт следующие уравнения для времени:
Время на путь по течению (в одну сторону):
[
t_1 = \frac{35}{v + 3}
]
Время на обратный путь (против течения):
[
t_2 = \frac{35}{v - 3}
]
По условию задачи, время на обратный путь на 40 минут (или ( \frac{2}{3} ) часа) меньше, чем время на путь по течению:
[
t_2 = t_1 - \frac{2}{3}
]
Подставим выражения для ( t_1 ) и ( t_2 ):
[
\frac{35}{v - 3} = \frac{35}{v + 3} - \frac{2}{3}
]
Теперь умножим на ( 3(v - 3)(v + 3) ), чтобы избавиться от дробей:
[
3 \cdot 35(v + 3) = 3 \cdot 35(v - 3) - 2(v - 3)(v + 3)
]
Упростим уравнение:
[
105(v + 3) = 105(v - 3) - 2(v^2 - 9)
]
Распределяем ( 105 ):
[
105v + 315 = 105v - 315 - 2v^2 + 18
]
Теперь сократим ( 105v ) с обеих сторон:
[
315 = -315 - 2v^2 + 18
]
Переносим все слагаемые в одну сторону:
[
2v^2 - 315 - 18 - 315 = 0 \implies 2v^2 - 648 = 0
]
Разделим на 2:
[
v^2 - 324 = 0
]
Решим это уравнение:
[
v^2 = 324 \implies v = 18
]
Таким образом, скорость лодки в неподвижной воде составляет ( 18 ) км/ч.
