Пусть скорость насоса при опорожнении бассейна составляет ( x ) м³/ч. Тогда скорость заполнения бассейна будет ( x - 4 ) м³/ч, так как насос перекачивает на 4 м³/ч меньше при заполнении.
Объем бассейна составляет 30 м³, и общее время на опорожнение и заполнение составило 8 часов. Обозначим время, затраченное на опорожнение, как ( t_1 ), а время на заполнение — как ( t_2 ). Таким образом, мы можем записать следующие два уравнения:
- ( t_1 + t_2 = 8 )
- ( t_1 = \frac{30}{x} ) (время на опорожнение)
- ( t_2 = \frac{30}{x - 4} ) (время на заполнение)
Теперь подставим выражения для ( t_1 ) и ( t_2 ) из пунктов 2 и 3 в уравнение 1:
[
\frac{30}{x} + \frac{30}{x - 4} = 8
]
Умножим все уравнение на ( x(x - 4) ) для устранения знаменателей:
[
30(x - 4) + 30x = 8x(x - 4)
]
Раскроем скобки:
[
30x - 120 + 30x = 8x^2 - 32x
]
Соберём всё в одну сторону:
[
8x^2 - 32x - 60x + 120 = 0
]
Упростим уравнение:
[
8x^2 - 92x + 120 = 0
]
Разделим всё уравнение на 4 для упрощения:
[
2x^2 - 23x + 30 = 0
]
Теперь применим формулу дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = (-23)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 30 = 529 - 240 = 289
]
Теперь найдем корни уравнения:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{23 \pm \sqrt{289}}{4} = \frac{23 \pm 17}{4}
]
У нас два корня:
- ( x_1 = \frac{40}{4} = 10 )
- ( x_2 = \frac{6}{4} = 1.5 ) (отрицательный корень не подходит, так как скорость не может быть отрицательной)
Теперь используем ( x = 10 ) м³/ч для нахождения времени заполнения ( t_2 ):
[
t_1 = \frac{30}{10} = 3 \text{ ч}
]
[
t_2 = \frac{30}{10 - 4} = \frac{30}{6} = 5 \text{ ч}
]
Таким образом, время, затраченное на заполнение бассейна, составляет 5 часов.
