упростить выражение 1) (1+tg^2a)*cos^2a; 2) tga+tgb/ctga+ctgb; 3) cos^2a-ctg^2a/sin^2a-tg^2a.
Давайте упрощать каждое из данных выражений по порядку.
- \( (1+\tan^2 a) \cos^2 a \)
Используем теорему Пифагора для тангенса: \[ 1 + \tan^2 a = \frac{1}{\cos^2 a} \] Подставим это в данное выражение: \[ (1+\tan^2 a) \cos^2 a = \frac{1}{\cos^2 a} \cdot \cos^2 a = 1 \]
Таким образом, упрощенное выражение: \[ 1 \]
- \( \frac{\tan a + \tan b}{\cot a + \cot b} \)
Вспомним, что \( \cot a = \frac{1}{\tan a} \) и \( \cot b = \frac{1}{\tan b} \). Тогда: \[ \cot a + \cot b = \frac{1}{\tan a} + \frac{1}{\tan b} = \frac{\tan b + \tan a}{\tan a \tan b} \] Подставим это в исходное выражение: \[ \frac{\tan a + \tan b}{\cot a + \cot b} = \frac{\tan a + \tan b}{\frac{\tan a + \tan b}{\tan a \tan b}} = \tan a \tan b \]
Таким образом, упрощенное выражение: \[ \tan a \tan b \]
- \( \frac{\cos^2 a - \cot^2 a}{\sin^2 a - \tan^2 a} \)
Сначала упростим числитель: \[ \cot^2 a = \frac{\cos^2 a}{\sin^2 a} \] Тогда числитель становится: \[ \cos^2 a - \cot^2 a = \cos^2 a - \frac{\cos^2 a}{\sin^2 a} = \cos^2 a \left(1 - \frac{1}{\sin^2 a}\right) = \cos^2 a \left(\frac{\sin^2 a - 1}{\sin^2 a}\right) = \cos^2 a \left(\frac{-\cos^2 a}{\sin^2 a}\right) = -\frac{\cos^4 a}{\sin^2 a} \]
Теперь упростим знаменатель: \[ \sin^2 a - \tan^2 a = \sin^2 a - \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} = \sin^2 a \left(1 - \frac{1}{\cos^2 a}\right) = \sin^2 a \left(\frac{\cos^2 a - 1}{\cos^2 a}\right) = \sin^2 a \left(\frac{-\sin^2 a}{\cos^2 a}\right) = -\frac{\sin^4 a}{\cos^2 a} \]
Теперь подставим эти результаты в наше выражение: \[ \frac{-\frac{\cos^4 a}{\sin^2 a}}{-\frac{\sin^4 a}{\cos^2 a}} = \frac{\cos^4 a}{\sin^2 a} \cdot \frac{\cos^2 a}{\sin^4 a} = \frac{\cos^6 a}{\sin^6 a} = \cot^6 a \]
Итак, упрощенное выражение: \[ \cot^6 a \]
Таким образом, мы упростили все три выражения. Если у вас есть дополнительные вопросы или примеры, не стесняйтесь спрашивать!
