решите неравенство (4x+1)(x-2)<-5
Давайте решим неравенство \((4x+1)(x-2)<-5\).
Сначала преобразуем неравенство. Переносим \(-5\) в левую часть:
\[ (4x+1)(x-2) + 5 < 0 \]
Теперь раскроем скобки и упростим выражение:
\[ (4x+1)(x-2) = 4x^2 - 8x + x - 2 = 4x^2 - 7x - 2 \]
Теперь добавим 5:
\[ 4x^2 - 7x - 2 + 5 < 0 \]
Упрощаем:
\[ 4x^2 - 7x + 3 < 0 \]
Теперь нам нужно найти корни квадратного уравнения \(4x^2 - 7x + 3 = 0\). Используем дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 49 - 48 = 1 \]
Корни уравнения вычисляются по формуле:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
Подставляем значения:
\[ x = \frac{7 \pm 1}{2 \cdot 4} \] \[ x_1 = \frac{8}{8} = 1, \quad x_2 = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \]
Таким образом, корни уравнения \((x_1 = 1\) и \(x_2 = \frac{3}{4})\). Теперь мы можем определить промежутки, в которых данная квадратная функция отрицательна.
Проверяем знаки на промежутках:
- \(x < \frac{3}{4}\)
- \(\frac{3}{4} < x < 1\)
- \(x > 1\)
Выберем тестовые значения:
Для \(x = 0\) (при \(x < \frac{3}{4}\)): \[ 4(0)^2 - 7(0) + 3 = 3 > 0 \]
Для \(x = \frac{7}{8}\) (при \(\frac{3}{4} < x < 1\)): \[ 4\left(\frac{7}{8}\right)^2 - 7\left(\frac{7}{8}\right) + 3 = 4 \cdot \frac{49}{64} - \frac{49}{8} + 3 = \frac{196}{64} - \frac{392}{64} + \frac{192}{64} = \frac{-4}{64} < 0 \]
Для \(x = 2\) (при \(x > 1\)): \[ 4(2)^2 - 7(2) + 3 = 16 - 14 + 3 = 5 > 0 \]
Таким образом, функция \(4x^2 - 7x + 3 < 0\) на промежутке \(\left(\frac{3}{4}, 1\right)\).
Ответ: \[ x \in \left(\frac{3}{4}, 1\right) \]
