Дано:
- Две бригады вместе могут выполнить задание за 8 часов.
- Первая бригада может выполнить задание на 12 часов быстрее, чем вторая бригада.
Пусть:
- Работу, которую выполняет первая бригада за 1 час, обозначим как ( a ) (часть работы).
- Работу, которую выполняет вторая бригада за 1 час, обозначим как ( b ) (часть работы).
Тогда из условия задачи у нас есть:
- ( a + b = \frac{1}{8} ) (так как вместе они выполняют ( \frac{1}{8} ) работы за 1 час).
Пусть время, за которое первая бригада выполняет задание одна, равно ( x ), тогда:
[
a = \frac{1}{x}
]
Вторая бригада выполняет задание на 12 часов медленнее, следовательно, время, за которое она выполняет задание, равно ( x + 12 ):
[
b = \frac{1}{x + 12}
]
Теперь подставим ( a ) и ( b ) в первое уравнение:
[
\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 12} = \frac{1}{8}
]
Теперь решим это уравнение. Умножим обе стороны на ( 8x(x + 12) ):
[
8(x + 12) + 8x = x(x + 12)
]
Упростим уравнение:
[
8x + 96 + 8x = x^2 + 12x
]
[
16x + 96 = x^2 + 12x
]
Переносим все в одну сторону:
[
x^2 - 4x - 96 = 0
]
Теперь решим квадратное уравнение ( x^2 - 4x - 96 = 0 ) с помощью дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-96) = 16 + 384 = 400
]
Корни уравнения:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm 20}{2}
]
Получаем два корня:
[
x_1 = \frac{24}{2} = 12 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-16}{2} = -8
]
Поскольку время не может быть отрицательным, выберем ( x = 12 ).
Ответ: первая бригада могла бы выполнить задание, работая одна, за 12 часов.
