Для решения неравенства (x^2 - 3x + 2 > 0) методом интервалов, начнем с нахождения нулей соответствующего квадратного уравнения (x^2 - 3x + 2 = 0).
- Находим корни уравнения.
Для этого можно воспользоваться формулой корней квадратного уравнения:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
где (a = 1), (b = -3), (c = 2).
Подставляем значения:
[
x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}
]
Таким образом, корни:
[
x_1 = \frac{4}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{2}{2} = 1
]
- Определяем интервалы.
Корни (x_1 = 2) и (x_2 = 1) разделяют числовую ось на три интервала:
- ( (-\infty, 1) )
- ( (1, 2) )
- ( (2, +\infty) )
- Выбираем тестовые точки в каждом интервале.
Теперь проверим знак выражения (x^2 - 3x + 2) на каждом интервале:
Интервал ( (-\infty, 1) ): выберем точку (x = 0).
[
0^2 - 3 \cdot 0 + 2 = 2 > 0
]
Интервал ( (1, 2) ): выберем точку (x = 1.5).
[
(1.5)^2 - 3 \cdot 1.5 + 2 = 2.25 - 4.5 + 2 = -0.25 < 0
]
Интервал ( (2, +\infty) ): выберем точку (x = 3).
[
3^2 - 3 \cdot 3 + 2 = 9 - 9 + 2 = 2 > 0
]
- Результат.
Теперь мы можем собрать информацию о знаках на интервалах:
- На интервале ( (-\infty, 1) ): выражение положительно.
- На интервале ( (1, 2) ): выражение отрицательно.
- На интервале ( (2, +\infty) ): выражение положительно.
Теперь мы хотим найти, где (x^2 - 3x + 2 > 0). Это происходит на интервалах:
- ( (-\infty, 1) ) и ( (2, +\infty) )
Таким образом, ответ:
[
x \in (-\infty, 1) \cup (2, +\infty)
]
