решите неравенство в скобках икс во 2 степени, - 3 икс, икс + 2 больше 0 методом интервалов.
Для решения неравенства \(x^2 - 3x + 2 > 0\) методом интервалов, начнем с нахождения нулей соответствующего квадратного уравнения \(x^2 - 3x + 2 = 0\).
- Находим корни уравнения.
Для этого можно воспользоваться формулой корней квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a = 1\), \(b = -3\), \(c = 2\).
Подставляем значения: \[ x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2} \]
Таким образом, корни: \[ x_1 = \frac{4}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{2}{2} = 1 \]
- Определяем интервалы.
Корни \(x_1 = 2\) и \(x_2 = 1\) разделяют числовую ось на три интервала:
- \( (-\infty, 1) \)
- \( (1, 2) \)
- \( (2, +\infty) \)
- Выбираем тестовые точки в каждом интервале.
Теперь проверим знак выражения \(x^2 - 3x + 2\) на каждом интервале:
Интервал \( (-\infty, 1) \): выберем точку \(x = 0\). \[ 0^2 - 3 \cdot 0 + 2 = 2 > 0 \]
Интервал \( (1, 2) \): выберем точку \(x = 1.5\). \[ (1.5)^2 - 3 \cdot 1.5 + 2 = 2.25 - 4.5 + 2 = -0.25 < 0 \]
Интервал \( (2, +\infty) \): выберем точку \(x = 3\). \[ 3^2 - 3 \cdot 3 + 2 = 9 - 9 + 2 = 2 > 0 \]
- Результат.
Теперь мы можем собрать информацию о знаках на интервалах:
- На интервале \( (-\infty, 1) \): выражение положительно.
- На интервале \( (1, 2) \): выражение отрицательно.
- На интервале \( (2, +\infty) \): выражение положительно.
Теперь мы хотим найти, где \(x^2 - 3x + 2 > 0\). Это происходит на интервалах:
- \( (-\infty, 1) \) и \( (2, +\infty) \)
Таким образом, ответ:
\[ x \in (-\infty, 1) \cup (2, +\infty) \]
