На окружности с центром О отмечены точки А и В так, что <AOB=120° . Длина меньшей дуги АВ равна 67. Найдите длину большей дуги.

Для решения задачи мы можем воспользоваться свойствами дуг и углов.

1. Длина меньшей дуги \( AB \) равна 67. Угол \( \angle AOB = 120^\circ \) соответствует центральному углу, который определяет эту дугу.

2. На окружности свойство: длина дуги \( AB \) связана с центральным углом \( \alpha \) (в радианах) по формуле: \[ L = R \cdot \alpha \] где \( L \) - длина дуги, \( R \) - радиус окружности.

Для нахождения радиуса \( R \):

• Угол в 120° в радианах равен \( \frac{120 \cdot \pi}{180} = \frac{2\pi}{3} \) радиан.

Обозначим длину меньшей дуги как \( L_{м} = 67 \). Тогда:

\[ 67 = R \cdot \frac{2\pi}{3} \]

Теперь найдем радиус \( R \): \[ R = \frac{67 \cdot 3}{2\pi} = \frac{201}{2\pi} \]

3. Теперь мы найдем длину большей дуги \( AB \). Длина всей окружности \( C \) вычисляется по формуле: \[ C = 2\pi R \]

Подставим найденный радиус: \[ C = 2\pi \cdot \frac{201}{2\pi} = 201 \]

4. Длина большей дуги \( AB \) будет равна длине всей окружности минус длина меньшей дуги: \[ L_{б} = C - L_{м} = 201 - 67 = 134 \]

Таким образом, длина большей дуги \( AB \) равна 134.