В правильном тетраэдре SABC сторона основания равна 2√3 , а боковое ребро равно √10. Найдите тангенс угла между прямой SB и плоскостью ABC. решать не через векторы и координаты точек.

Для решения задачи о нахождении тангенса угла между прямой \( SB \) и плоскостью \( ABC \) в правильном тетраэдре, можно воспользоваться геометрическими свойствами тетраэдра. 1. **Параметры тетраэдра**: - Сторона основания (треугольник ABC) равна \( a = 2\sqrt{3} \). - Боковое ребро (например \( SB \)) равно \( b = \sqrt{10} \). 2. **Определим высоту \( h \) тетраэдра**: Для правильного тетраэдра высоту \( h \) можно найти через формулу: \[ h = \sqrt{b^2 - \left(\frac{a\sqrt{6}}{3}\right)^2} \] где \( \frac{a\sqrt{6}}{3} \) - это расстояние от вершины S до центра основания ABC. 3. **Находим центр основания**: Центр треугольника ABC будет находиться на расстоянии от каждой вершины до центра, что можно определить через параметры треугольника равностороннего ABC. 4. **Вычисляем радиусы и высоты**: Высота \( h \) до плоскости \( ABC \) будет равна: \[ h = \sqrt{b^2 - \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2} \] Подставляем значения: \[ h = \sqrt{(\sqrt{10})^2 - \left(\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\right)^2} = \sqrt{10 - 4} = \sqrt{6} \] 5. **Находим площадь треугольника ABC**: Площадь \( S_{ABC} \) треугольника ABC вычисляется по формуле \[ S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \] Подставляем значение: \[ S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{4} (2\sqrt{3})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 12 = 3\sqrt{3} \] 6. **Ищем тангенс угла**: Тангенс угла между прямой \( SB \) и плоскостью \( ABC \) можно выразить как отношение высоты \( h \) к радиусу вписанной окружности \( r \) треугольника \( ABC \). Радиус вписанной окружности \( r \) вычисляется по формуле: \[ r = \frac{S}{p} \] где \( S \) — площадь треугольника, \( p \) — полупериметр: - Полупериметр \( p = \frac{3a}{2} = 3\sqrt{3} \). \[ r = \frac{3\sqrt{3}}{3\sqrt{3}} = 1 \] Теперь можем выразить тангенс угла: \[ \tan \theta = \frac{h}{r} = \frac{\sqrt{6}}{1} = \sqrt{6} \] Таким образом, тангенс угла между прямой \( SB \) и плоскостью \( ABC \) равен \( \sqrt{6} \).