В данной задаче у нас есть 6 независимых испытаний Бернулли, из которых нам необходимо найти вероятность того, что сначала наступят 2 успеха, а затем 4 неудачи, что будет представлять собой последовательность из 6 испытаний (2 успеха и 4 неудачи).
Для начала будем использовать формулу для вычисления вероятности конкретной последовательности испытаний Бернулли:
[
P(S) = p^k (1 - p)^{n - k}
]
где:
- (p) — вероятность успеха (в нашем случае (p = \frac{1}{4})),
- (n) — общее количество испытаний (в данном случае (n = 6)),
- (k) — количество успехов (здесь (k = 2)),
- (1 - p) — вероятность неудачи (в нашем случае (1 - p = \frac{3}{4})).
В данном случае нам нужно найти вероятность, что в первом и втором испытаниях будут успехи, а в последующих четырёх испытаниях — неудачи. Таким образом, вероятность составит:
[
P(2 \text{ успеха и 4 неудачи}) = p^2 (1 - p)^4 = \left(\frac{1}{4}\right)^2 \left(\frac{3}{4}\right)^4
]
Теперь вычислим:
[
P = \left(\frac{1}{4}\right)^2 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^4 = \frac{1}{16} \cdot \frac{81}{256} = \frac{81}{4096}
]
Итак, вероятность элементарного события, в котором происходят сначала 2 успеха, а затем 4 неудачи, равна (\frac{81}{4096}).
