Проводится серия из 6 независимых испытаний Бернулли с вероятностью успеха p = 1/4. Найдите вероятность элементарного события, в котором наступает сначала 2 успеха, а затем – 4…

В данной задаче у нас есть 6 независимых испытаний Бернулли, из которых нам необходимо найти вероятность того, что сначала наступят 2 успеха, а затем 4 неудачи, что будет представлять собой последовательность из 6 испытаний (2 успеха и 4 неудачи).

Для начала будем использовать формулу для вычисления вероятности конкретной последовательности испытаний Бернулли:

\[ P(S) = p^k (1 - p)^{n - k} \]

где:

• \(p\) — вероятность успеха (в нашем случае \(p = \frac{1}{4}\)),
• \(n\) — общее количество испытаний (в данном случае \(n = 6\)),
• \(k\) — количество успехов (здесь \(k = 2\)),
• \(1 - p\) — вероятность неудачи (в нашем случае \(1 - p = \frac{3}{4}\)).

В данном случае нам нужно найти вероятность, что в первом и втором испытаниях будут успехи, а в последующих четырёх испытаниях — неудачи. Таким образом, вероятность составит:

\[ P(2 \text{ успеха и 4 неудачи}) = p^2 (1 - p)^4 = \left(\frac{1}{4}\right)^2 \left(\frac{3}{4}\right)^4 \]

Теперь вычислим:

\[ P = \left(\frac{1}{4}\right)^2 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^4 = \frac{1}{16} \cdot \frac{81}{256} = \frac{81}{4096} \]

Итак, вероятность элементарного события, в котором происходят сначала 2 успеха, а затем 4 неудачи, равна \(\frac{81}{4096}\).