Для нахождения ( \tan a ), когда известен ( \cos a ) и угол находится в диапазоне ( \frac{3\pi}{2} < a < 2\pi ), сначала найдем синус угла ( a ).
Поскольку ( \cos a = \frac{5}{13} ), мы можем использовать основное тригонометрическое тождество:
[
\sin^2 a + \cos^2 a = 1
]
Подставим значение ( \cos a ):
[
\sin^2 a + \left(\frac{5}{13}\right)^2 = 1
]
[
\sin^2 a + \frac{25}{169} = 1
]
Вычтем ( \frac{25}{169} ) из обеих сторон:
[
\sin^2 a = 1 - \frac{25}{169}
]
Приведем 1 к общему знаменателю:
[
\sin^2 a = \frac{169}{169} - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}
]
Теперь найдем ( \sin a ):
[
\sin a = \pm \sqrt{\frac{144}{169}} = \pm \frac{12}{13}
]
Так как угол ( a ) находится в четвертой четверти (где синус отрицателен), то:
[
\sin a = -\frac{12}{13}
]
Теперь находим тангенс:
[
\tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{-\frac{12}{13}}{\frac{5}{13}} = -\frac{12}{5}
]
Таким образом, значение ( \tan a ) будет равно:
[
\tan a = -\frac{12}{5}
]
