решите неравенство 2х²+х-1>0

Для решения неравенства \(2x^2 + x - 1 > 0\) начнем с нахождения корней соответствующего уравнения \(2x^2 + x - 1 = 0\).

Используем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9. \]

Теперь находим корни уравнения:

\[ x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1, \] \[ x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}. \]

В результате мы получили два корня: \(x_1 = -1\) и \(x_2 = \frac{1}{2}\).

Теперь разбиваем числовую прямую на интервалы, используя найденные корни:

1. \( (-\infty, -1) \)
2. \((-1, \frac{1}{2})\)
3. \((\frac{1}{2}, +\infty)\)

Проверим знак многочлена \(2x^2 + x - 1\) в каждом интервале.

1. Для интервала \((-\infty, -1)\), например, подставим \(x = -2\): \[ 2(-2)^2 + (-2) - 1 = 8 - 2 - 1 = 5 > 0. \] Значит, знак положительный.

2. Для интервала \((-1, \frac{1}{2})\), например, подставим \(x = 0\): \[ 2(0)^2 + 0 - 1 = -1 < 0. \] Значит, знак отрицательный.

3. Для интервала \((\frac{1}{2}, +\infty)\), например, подставим \(x = 1\): \[ 2(1)^2 + 1 - 1 = 2 + 1 - 1 = 2 > 0. \] Значит, знак положительный.

Теперь мы знаем, где функция положительна:

• В интервале \( (-\infty, -1) \) и в интервале \( (\frac{1}{2}, +\infty) \).

Таким образом, решение неравенства \(2x^2 + x - 1 > 0\) можно записать в виде интервалов:

\[ x \in (-\infty, -1) \cup \left(\frac{1}{2}, +\infty\right). \]