разложите на множители а) 12m²-6mn-9n+18m б) 4p+24kp-8k-12p². упростите выражение (а-4)(а+4)(16+а²)-(а²-8)² найдите выражение при а=-1/4. докажите равенство х²-14х+50>0

Давайте разберем предложенные вами задания по порядку.

I. Разложение на множители

а) \( 12m² - 6mn - 9n + 18m \)

1. Сначала сгруппируем слагаемые: \( (12m^2 + 18m) + (-6mn - 9n) \).

2. Из первой группы можно вынести \( 6m \): \( 6m(2m + 3) \).

3. Из второй группы можно вынести \(-3n\): \(-3n(2m + 3)\).

4. Теперь у нас получается: \( 6m(2m + 3) - 3n(2m + 3) \).

5. Вынесем общий множитель \( (2m + 3) \): \((2m + 3)(6m - 3n)\).

Таким образом, разложение на множители: \[ (2m + 3)(6m - 3n) \]

б) \( 4p + 24kp - 8k - 12p² \)

1. Сгруппируем: \( (4p - 12p²) + (24kp - 8k) \).

2. Из первой группы можно вынести \( 4p \): \( 4p(1 - 3p) \).

3. Из второй группы можно вынести \( 8k \): \( 8k(3p - 1) \).

4. Теперь складываем выражения и можем обратить внимание, что \( 3p - 1 = - (1 - 3p) \), поэтому: \[ 4p(1 - 3p) - 8k(1 - 3p) \]

5. Вынесем общий множитель \( (1 - 3p) \): \((1 - 3p)(4p - 8k)\).

Таким образом, разложение на множители: \[ (1 - 3p)(4p - 8k) \]

II. Упрощение выражения

Упростим: \[ (a-4)(a+4)(16+a^2) - (a^2-8)^2 \]

1. Первое выражение представляет собой разность квадратов: \((a^2 - 16)(16 + a^2)\).

2. Перепишем второе выражение: \((a^2 - 8)^2 = a^4 - 16a^2 + 64\).

3. Теперь, соберем всё вместе: \((a^2 - 16)(16 + a^2) - (a^4 - 16a^2 + 64)\).

4. После упрощения и раскрытия скобок мы получим: \(-a^4 + 16a^2 + 16a^2 - 64 + 64\).

5. Упростив, мы получим: \(-a^4 + 32a^2 \).

Теперь найдите значение функции при \( a = -\frac{1}{4} \):

1. Подставляем: \(-\left(-\frac{1}{4}\right)^4 + 32\left(-\frac{1}{4}\right)^2\).

2. Это будет: \(-\frac{1}{256} + 32 \cdot \frac{1}{16} = -\frac{1}{256} + 2 = -\frac{1}{256} + \frac{512}{256} = \frac{511}{256}\).

III. Доказать неравенство

Чтобы доказать неравенство \( x^2 - 14x + 50 > 0 \), мы можем исследовать дискриминант:

1. Найдем дискриминант: \( D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 50 = 196 - 200 = -4 \).

Так как дискриминант отрицательный, это значит, что квадратный трёхчлен не пересекает ось абсцисс и всегда положителен (или всегда отрицателен). Так как ведущий коэффициент положителен, следовательно, \( x^2 - 14x + 50 > 0 \) для всех \( x \).

Таким образом, неравенство доказано.