Для нахождения вероятности того, что Ваня не пойдёт на пересдачу, нужно найти вероятность того, что он решит верно хотя бы 2 задания из 5.
Так как он отвечает на вопросы наугад, вероятность успеха в каждой задаче составляет ( p = \frac{1}{4} ), а вероятность неудачи (ответ неверный) составляет ( q = 1 - p = \frac{3}{4} ).
Количество заданий ( n = 5 ).
Мы можем использовать биномиальное распределение, чтобы найти вероятность того, что Ваня решит верно ( k ) заданий, где ( k ) может быть от 0 до 5. Формула для биномиального распределения выглядит так:
[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k}
]
где ( C(n, k) ) — биномиальный коэффициент, равный ( \frac{n!}{k!(n-k)!} ).
Мы ищем вероятность того, что Ваня решит верно 0 или 1 задание, а затем вычтем это из 1 (общее количество вероятности), чтобы получить вероятность успешного результата (решение 2 или более заданий).
Вероятность решить 0 заданий:
[
P(X = 0) = C(5, 0) \left( \frac{1}{4} \right)^0 \left( \frac{3}{4} \right)^5 = 1 \cdot 1 \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^5 = \left( \frac{3}{4} \right)^5 \approx 0.2373
]
Вероятность решить 1 задание:
[
P(X = 1) = C(5, 1) \left( \frac{1}{4} \right)^1 \left( \frac{3}{4} \right)^4 = 5 \cdot \frac{1}{4} \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^4 = 5 \cdot \frac{1}{4} \cdot \left( \frac{81}{256} \right) = \frac{405}{1024} \approx 0.3955
]
Общая вероятность того, что Ваня решит менее 2 заданий:
[
P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) \approx 0.2373 + 0.3955 = 0.6328
]
Вероятность того, что Ваня решит 2 или более заданий:
[
P(X \geq 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - 0.6328 = 0.3672
]
Таким образом, вероятность того, что Ваня не пойдёт на пересдачу, составляет approximately 0.3672 или 36.72%.
