В годовой контрольной работе 5 5 задач, в каждой из которых 4 4 варианта ответа. Для того чтобы не отправиться на пересдачу, ученику нужно решить верно хотя бы 2 2 задания. Ваня…

Для нахождения вероятности того, что Ваня не пойдёт на пересдачу, нужно найти вероятность того, что он решит верно хотя бы 2 задания из 5.

Так как он отвечает на вопросы наугад, вероятность успеха в каждой задаче составляет \( p = \frac{1}{4} \), а вероятность неудачи (ответ неверный) составляет \( q = 1 - p = \frac{3}{4} \).

Количество заданий \( n = 5 \).

Мы можем использовать биномиальное распределение, чтобы найти вероятность того, что Ваня решит верно \( k \) заданий, где \( k \) может быть от 0 до 5. Формула для биномиального распределения выглядит так:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]

где \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, равный \( \frac{n!}{k!(n-k)!} \).

Мы ищем вероятность того, что Ваня решит верно 0 или 1 задание, а затем вычтем это из 1 (общее количество вероятности), чтобы получить вероятность успешного результата (решение 2 или более заданий).

1. Вероятность решить 0 заданий: \[ P(X = 0) = C(5, 0) \left( \frac{1}{4} \right)^0 \left( \frac{3}{4} \right)^5 = 1 \cdot 1 \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^5 = \left( \frac{3}{4} \right)^5 \approx 0.2373 \]

2. Вероятность решить 1 задание: \[ P(X = 1) = C(5, 1) \left( \frac{1}{4} \right)^1 \left( \frac{3}{4} \right)^4 = 5 \cdot \frac{1}{4} \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^4 = 5 \cdot \frac{1}{4} \cdot \left( \frac{81}{256} \right) = \frac{405}{1024} \approx 0.3955 \]

3. Общая вероятность того, что Ваня решит менее 2 заданий: \[ P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) \approx 0.2373 + 0.3955 = 0.6328 \]

4. Вероятность того, что Ваня решит 2 или более заданий: \[ P(X \geq 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - 0.6328 = 0.3672 \]

Таким образом, вероятность того, что Ваня не пойдёт на пересдачу, составляет approximately 0.3672 или 36.72%.