Сумма первых n членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:
[
S_n = a_1 \frac{1 - q^n}{1 - q}
]
где:
- (S_n) — сумма первых n членов,
- (a_1) — первый член,
- (q) — знаменатель прогрессии,
- (n) — количество членов.
В данном случае:
- (a_1 = 64),
- (q = \frac{1}{4}),
- (n = 5).
Теперь подставим известные значения в формулу:
[
S_5 = 64 \frac{1 - \left(\frac{1}{4}\right)^5}{1 - \frac{1}{4}}
]
Сначала найдем (\left(\frac{1}{4}\right)^5):
[
\left(\frac{1}{4}\right)^5 = \frac{1}{1024}
]
Теперь подставим это значение в формулу:
[
S_5 = 64 \frac{1 - \frac{1}{1024}}{1 - \frac{1}{4}} = 64 \frac{1 - \frac{1}{1024}}{\frac{3}{4}}
]
Вычтем в числителе:
[
1 - \frac{1}{1024} = \frac{1024 - 1}{1024} = \frac{1023}{1024}
]
Теперь подставим это значение:
[
S_5 = 64 \frac{\frac{1023}{1024}}{\frac{3}{4}} = 64 \cdot \frac{1023}{1024} \cdot \frac{4}{3}
]
Упрощаем:
[
S_5 = \frac{256 \cdot 1023}{1024 \cdot 3}
]
Теперь можем упростить дробь:
[
256 \div 1024 = \frac{1}{4} \Rightarrow S_5 = \frac{1 \cdot 1023}{4 \cdot 3} = \frac{1023}{12}
]
В результате окончательный ответ:
[
S_5 = \frac{1023}{12} \approx 85,25
]
Таким образом, сумма первых пяти членов геометрической прогрессии составляет (S_5 \approx 85,25).
