Последовательность (an) – геометрическая прогрессия. Найдите: S5, если a1=64, q=1/4.

Сумма первых n членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

\[ S_n = a_1 \frac{1 - q^n}{1 - q} \]

где:

• \(S_n\) — сумма первых n членов,
• \(a_1\) — первый член,
• \(q\) — знаменатель прогрессии,
• \(n\) — количество членов.

В данном случае:

• \(a_1 = 64\),
• \(q = \frac{1}{4}\),
• \(n = 5\).

Теперь подставим известные значения в формулу:

\[ S_5 = 64 \frac{1 - \left(\frac{1}{4}\right)^5}{1 - \frac{1}{4}} \]

Сначала найдем \(\left(\frac{1}{4}\right)^5\):

\[ \left(\frac{1}{4}\right)^5 = \frac{1}{1024} \]

Теперь подставим это значение в формулу:

\[ S_5 = 64 \frac{1 - \frac{1}{1024}}{1 - \frac{1}{4}} = 64 \frac{1 - \frac{1}{1024}}{\frac{3}{4}} \]

Вычтем в числителе:

\[ 1 - \frac{1}{1024} = \frac{1024 - 1}{1024} = \frac{1023}{1024} \]

Теперь подставим это значение:

\[ S_5 = 64 \frac{\frac{1023}{1024}}{\frac{3}{4}} = 64 \cdot \frac{1023}{1024} \cdot \frac{4}{3} \]

Упрощаем:

\[ S_5 = \frac{256 \cdot 1023}{1024 \cdot 3} \]

Теперь можем упростить дробь:

\[ 256 \div 1024 = \frac{1}{4} \Rightarrow S_5 = \frac{1 \cdot 1023}{4 \cdot 3} = \frac{1023}{12} \]

В результате окончательный ответ:

\[ S_5 = \frac{1023}{12} \approx 85,25 \]

Таким образом, сумма первых пяти членов геометрической прогрессии составляет \(S_5 \approx 85,25\).