решение неравенства с помощью дискриминанта 2х²-х-15>0 решение неравенства х²<16

Решим оба неравенства по отдельности.

1. Неравенство 2х² - х - 15 > 0:

Сначала решим соответствующее уравнение:

\( 2х² - х - 15 = 0 \)

Для этого найдем дискриминант:

\( D = b^2 - 4ac \)

где \( a = 2 \), \( b = -1 \), \( c = -15 \).

Подставим значения:

\( D = (-1)² - 4 * 2 * (-15) = 1 + 120 = 121 \)

Теперь находим корни уравнения:

\( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 11}{4} = \frac{12}{4} = 3 \)

\( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 11}{4} = \frac{-10}{4} = -2.5 \)

Теперь у нас есть корни \( x_1 = 3 \) и \( x_2 = -2.5 \). Теперь будем анализировать знаки функции \( f(x) = 2x^2 - x - 15 \):

• При \( x < -2.5 \): положительно (функция "вверх")
• На интервале \( (-2.5, 3) \): отрицательно
• При \( x > 3 \): положительно

Следовательно, неравенство \( 2x² - x - 15 > 0 \) будет выполнено на интервалах:

\[ (-\infty, -2.5) \cup (3, +\infty) \]

2. Неравенство \( x² < 16 \):

Решим это неравенство:

\( x² < 16 \)

Корни соответствующего уравнения:

\( x = \pm 4 \)

Запишем решение неравенства:

\[ -4 < x < 4 \]

3. Объединение решений:

Теперь найдем пересечение решений двух неравенств:

• Первое неравенство: \( (-\infty, -2.5) \cup (3, +\infty) \)
• Второе неравенство: \( (-4, 4) \)

Пересечения:

1. \( (-\infty, -2.5) \cap (-4, 4) = (-4, -2.5) \)
2. \( (3, +\infty) \cap (-4, 4) = (3, 4) \)

Таким образом, полное решение системы неравенств:

\[ (-4, -2.5) \cup (3, 4) \]