Сумма двух натуральных чисел равна 19, а сумма квадратов этих чисел равна 185. Найдите эти числа. В ответе укажите найденные числа без пробелов в порядке возрастания.
Обозначим два натуральных числа как \( x \) и \( y \). У нас есть два уравнения:
- \( x + y = 19 \)
- \( x^2 + y^2 = 185 \)
Первое уравнение можно выразить в виде \( y = 19 - x \). Подставим это выражение во второе уравнение:
\[ x^2 + (19 - x)^2 = 185 \]
Раскроем скобки:
\[ x^2 + (19^2 - 2 \cdot 19 \cdot x + x^2) = 185 \]
Преобразуем уравнение:
\[ x^2 + 361 - 38x + x^2 = 185 \]
Соберем всё в одну сторону:
\[ 2x^2 - 38x + 361 - 185 = 0 \]
\[ 2x^2 - 38x + 176 = 0 \]
Теперь упростим уравнение, поделив его на 2:
\[ x^2 - 19x + 88 = 0 \]
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = (-19)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 88 = 361 - 352 = 9 \]
Поскольку дискриминант положительный, у уравнения два решения:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{19 \pm 3}{2} \]
Вычислим корни:
\[ x_1 = \frac{22}{2} = 11 \] \[ x_2 = \frac{16}{2} = 8 \]
Таким образом, найденные числа \( x = 8 \) и \( y = 11 \).
В ответе укажите найденные числа без пробелов в порядке возрастания:
8 11
