1.)один из углов прямоугольного треугольника равен 60° а сумма гипатннузуы и меньшего катета равна 36 см найдите меньший каттет
Обозначим меньший катет как \( a \), а гипотенузу как \( c \). Согласно условиям задачи, у нас есть следующие соотношения:
- \( c + a = 36 \) (сумма гипотенузы и меньшего катета равна 36 см)
- В прямоугольном треугольнике с углом 60° мы можем использовать отношения сторон:
- \( \sin(60°) = \frac{a}{c} \)
- \( \cos(60°) = \frac{b}{c} \), где \( b \) — больший катет.
Из тригонометрических соотношений: \[ \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
Следовательно: \[ \frac{a}{c} = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies a = \frac{\sqrt{3}}{2} c \]
Теперь подставим это значение \( a \) в первое уравнение: \[ c + \frac{\sqrt{3}}{2} c = 36 \]
Это можно упростить: \[ c \left( 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 36 \]
Посчитаем \( 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \): \[ 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2 + \sqrt{3}}{2} \]
Таким образом, у нас получается: \[ c \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{2} = 36 \implies c = \frac{36 \cdot 2}{2 + \sqrt{3}} = \frac{72}{2 + \sqrt{3}} \]
Теперь найдем \( a \): \[ a = \frac{\sqrt{3}}{2} c = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{72}{2 + \sqrt{3}} = \frac{36\sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} \]
Для удобства можно умножить числитель и знаменатель на \( 2 - \sqrt{3} \) (сопряжённое выражение): \[ a = \frac{36\sqrt{3}(2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \frac{36\sqrt{3}(2 - \sqrt{3})}{4 - 3} = 36\sqrt{3}(2 - \sqrt{3}) = 72\sqrt{3} - 108 \]
Таким образом, путем вычислений, мы находим, что меньший катет приблизительно равен \( 72\sqrt{3} - 108 \) см.
Для численного значения: \[ 72\sqrt{3} \approx 72 \cdot 1.732 = 124.992 \implies 124.992 - 108 \approx 16.992 \text{ см} \]
Таким образом, меньший катет примерно равен 17 см (округляя до целого).
