Обозначим меньший катет как ( a ), а гипотенузу как ( c ). Согласно условиям задачи, у нас есть следующие соотношения:
- ( c + a = 36 ) (сумма гипотенузы и меньшего катета равна 36 см)
- В прямоугольном треугольнике с углом 60° мы можем использовать отношения сторон:
- ( \sin(60°) = \frac{a}{c} )
- ( \cos(60°) = \frac{b}{c} ), где ( b ) — больший катет.
Из тригонометрических соотношений:
[
\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}
]
Следовательно:
[
\frac{a}{c} = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies a = \frac{\sqrt{3}}{2} c
]
Теперь подставим это значение ( a ) в первое уравнение:
[
c + \frac{\sqrt{3}}{2} c = 36
]
Это можно упростить:
[
c \left( 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 36
]
Посчитаем ( 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} ):
[
1 + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2 + \sqrt{3}}{2}
]
Таким образом, у нас получается:
[
c \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{2} = 36 \implies c = \frac{36 \cdot 2}{2 + \sqrt{3}} = \frac{72}{2 + \sqrt{3}}
]
Теперь найдем ( a ):
[
a = \frac{\sqrt{3}}{2} c = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{72}{2 + \sqrt{3}} = \frac{36\sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}
]
Для удобства можно умножить числитель и знаменатель на ( 2 - \sqrt{3} ) (сопряжённое выражение):
[
a = \frac{36\sqrt{3}(2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \frac{36\sqrt{3}(2 - \sqrt{3})}{4 - 3} = 36\sqrt{3}(2 - \sqrt{3}) = 72\sqrt{3} - 108
]
Таким образом, путем вычислений, мы находим, что меньший катет приблизительно равен ( 72\sqrt{3} - 108 ) см.
Для численного значения:
[
72\sqrt{3} \approx 72 \cdot 1.732 = 124.992 \implies 124.992 - 108 \approx 16.992 \text{ см}
]
Таким образом, меньший катет примерно равен 17 см (округляя до целого).
