Для упрощения выражения ( \frac{x^2}{x^2 - 25} - \frac{x}{x - 5} ), сначала разложим знаменатель ( x^2 - 25 ) на множители:
[ x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5). ]
Теперь перепишем выражение:
[ \frac{x^2}{(x - 5)(x + 5)} - \frac{x}{x - 5}. ]
Найдем общий знаменатель для выражений: это ((x - 5)(x + 5)).
Теперь переписываем вторую дробь:
[ \frac{x(x + 5)}{(x - 5)(x + 5)}. ]
Теперь выражение выглядит так:
[ \frac{x^2}{(x - 5)(x + 5)} - \frac{x(x + 5)}{(x - 5)(x + 5)}. ]
Объединяем:
[ \frac{x^2 - x(x + 5)}{(x - 5)(x + 5)}. ]
Упростим числитель:
[ x^2 - x(x + 5) = x^2 - x^2 - 5x = -5x. ]
Таким образом, получаем:
[ \frac{-5x}{(x - 5)(x + 5)}. ]
Теперь найдем значение при ( x = \frac{5}{2} ):
В знаменателе:
[
(x - 5)(x + 5) = \left(\frac{5}{2} - 5\right)\left(\frac{5}{2} + 5\right) = \left(\frac{-5}{2}\right)\left(\frac{15}{2}\right).
]
Это даёт:
[
\frac{75}{4}.
]
В числителе:
[ -5 \cdot \frac{5}{2} = -\frac{25}{2}. ]
Теперь выражение:
[
\frac{-\frac{25}{2}}{\frac{75}{4}} = -\frac{25}{2} \cdot \frac{4}{75} = -\frac{100}{150} = -\frac{2}{3}.
]
Ответ: (-\frac{2}{3}).
