найдите площадь фигуры ограниченной линиями y=5-x², y=1
Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиками \( y = 5 - x^2 \) и \( y = 1 \), необходимо выполнить несколько шагов.
Найдите точки пересечения графиков:
Мы приравняем \( y = 5 - x^2 \) и \( y = 1 \): \[ 5 - x^2 = 1 \] \[ x^2 = 4 \] \[ x = 2 \quad \text{или} \quad x = -2 \]
Таким образом, точки пересечения находятся в \( x = -2 \) и \( x = 2 \).
Запишите выражение для площади:
Площадь фигуры между двумя кривыми от \( x = -2 \) до \( x = 2 \) можно найти по формуле: \[ S = \int_{-2}^{2} ((5 - x^2) - 1) \, dx \] \[ S = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) \, dx \]
Вычислите интеграл:
Найдем определенный интеграл: \[ S = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) \, dx \]
Для этого сначала вычислим неопределенный интеграл: \[ \int (4 - x^2) \, dx = 4x - \frac{x^3}{3} + C \]
Затем подставим границы: \[ S = \left[4x - \frac{x^3}{3}\right]_{-2}^{2} \]
Подставляем верхний предел: \[ S(2) = 4(2) - \frac{(2)^3}{3} = 8 - \frac{8}{3} = 8 - 2.67 \approx 5.33 \]
Подставляем нижний предел: \[ S(-2) = 4(-2) - \frac{(-2)^3}{3} = -8 + \frac{8}{3} = -8 + 2.67 \approx -5.33 \]
Теперь вычислим разность: \[ S = S(2) - S(-2) = \left(5.33\right) - \left(-5.33\right) = 5.33 + 5.33 = 10.67 \text{ (точное значение) } \]
Приведем к общему виду: \[ 10.67 = \frac{32}{3} \text{ (точно) } \]
Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиками \( y = 5 - x^2 \) и \( y = 1 \), составляет \( \frac{32}{3} \) квадратных единиц.
