Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Haфии двугранный угол A1DCA, если AC = 13см, DC = 5см, AA1 = 12v3см

Чтобы найти угол между гранями в двугранном угле A1DCA прямоугольного параллелепипеда, можно использовать векторы.

Сначала зададим координаты точек:

• \( A(0, 0, 0) \)
• \( B(a, 0, 0) \)
• \( C(a, b, 0) \)
• \( D(0, b, 0) \)
• \( A_1(0, 0, c) \)
• \( B_1(a, 0, c) \)
• \( C_1(a, b, c) \)
• \( D_1(0, b, c) \)

Согласно данным, имеем:

• \( AC = 13 \) см. Поскольку \( AC \) - это диагональ основания, то \[ AC = \sqrt{a^2 + b^2} = 13 \implies a^2 + b^2 = 169. \]

• \( DC = 5 \) см. Это сторона основания, поэтому \[ DC = b = 5. \]

• \( AA_1 = 12\sqrt{3} \) см. Это высота параллелепипеда, то есть \[ AA_1 = c = 12\sqrt{3}. \]

Теперь подставим \( b = 5 \) в уравнение для \( AC \): \[ a^2 + 5^2 = 169 \implies a^2 + 25 = 169 \implies a^2 = 144 \implies a = 12. \]

Итак, у нас есть размеры параллелепипеда:

• \( a = 12 \) см,
• \( b = 5 \) см,
• \( c = 12\sqrt{3} \) см.

Теперь можно найти векторы нормалей к граням, между которыми мы ищем угол:

1. Грань A1DCA:

   • Вектор AD: \( \vec{AD} = D - A = (0, 5, 0) - (0, 0, 0) = (0, 5, 0) \)
   • Вектор AC: \( \vec{AC} = C - A = (12, 0, 0) - (0, 0, 0) = (12, 0, 0) \)

2. Грань A1D1C1:

   • Вектор A1D1: \( \vec{A_1D_1} = D_1 - A_1 = (0, 5, 12\sqrt{3}) - (0, 0, 12\sqrt{3}) = (0, 5, 0) \)
   • Вектор A1C1: \( \vec{A_1C_1} = C_1 - A_1 = (12, 5, 12\sqrt{3}) - (0, 0, 12\sqrt{3}) = (12, 5, 0) \)

Теперь найдем нормали к граням:

Нормаль к грани A1DCA: \[ \vec{N_1} = \vec{AD} \times \vec{AC} = (0, 5, 0) \times (12, 0, 0) = (0, 0, -60). \]

Нормаль к грани A1D1C1: \[ \vec{N_2} = \vec{A_1D_1} \times \vec{A_1C_1} = (0, 5, 0) \times (12, 5, 0) = (0, 0, 60). \]

Теперь найдем угол между нормалями: \[ \cos \theta = \frac{\vec{N_1} \cdot \vec{N_2}}{|\vec{N_1}| |\vec{N_2}|}. \] Сначала найдем скалярное произведение: \[ \vec{N_1} \cdot \vec{N_2} = (0, 0, -60) \cdot (0, 0, 60) = -3600. \]

Далее найдем длины векторов: \[ |\vec{N_1}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + (-60)^2} = 60, \] \[ |\vec{N_2}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + (60)^2} = 60. \]

Теперь подставляем в формулу: \[ \cos \theta = \frac{-3600}{60 \cdot 60} = -1. \] Тогда \[ \theta = \cos^{-1}(-1) = 180^\circ. \]

Таким образом, угол между гранями A1DCA и A1D1C1 равен 180 градусов.