Чтобы внести множитель под знак корня в выражении ( (2 - \sqrt{3}) \cdot \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} ), сначала упростим выражение под корнем.
Мы заметим, что ( 7 + 4\sqrt{3} ) можно записать в виде полного квадрата.
( 7 + 4\sqrt{3} = (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 )
Сравнив коэффициенты, получаем:
- ( a + b = 7 )
- ( 2\sqrt{ab} = 4\sqrt{3} ), что дает ( \sqrt{ab} = 2\sqrt{3} ) и ( ab = 12 )
Теперь нужно решить систему уравнений:
- ( a + b = 7 )
- ( ab = 12 )
Это можно сделать, предположив, что ( a ) и ( b ) - корни квадратного уравнения:
( x^2 - 7x + 12 = 0 )
Находим дискриминант:
( D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1 )
Корни уравнения:
( x_{1,2} = \frac{7 \pm 1}{2} = {4, 3} )
Таким образом, ( a = 4 ) и ( b = 3 ):
[
\sqrt{7 + 4\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{4} + \sqrt{3})^2} = \sqrt{4} + \sqrt{3} = 2 + \sqrt{3}
]
Теперь подставим это выполняем в исходное выражение:
[
(2 - \sqrt{3}) \cdot \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} = (2 - \sqrt{3}) \cdot (2 + \sqrt{3})
]
Упрощаем с помощью разности квадратов:
[
(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1
]
Таким образом, окончательный ответ:
[
(2 - \sqrt{3}) \cdot \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} = 1
]
