решить систему управлений x²+y²=20 xy=8
Для решения системы уравнений:
- \( x^2 + y^2 = 20 \)
- \( xy = 8 \)
мы можем воспользоваться заменой переменных. Из второго уравнения выразим одну из переменных, например \( y \):
\[ y = \frac{8}{x} \]
Теперь подставим это значение в первое уравнение:
\[ x^2 + \left(\frac{8}{x}\right)^2 = 20 \]
Упростим уравнение:
\[ x^2 + \frac{64}{x^2} = 20 \]
Умножим обе части уравнения на \( x^2 \) (предполагая, что \( x \neq 0 \)):
\[ x^4 - 20x^2 + 64 = 0 \]
Обозначим \( z = x^2 \). Тогда получаем квадратное уравнение:
\[ z^2 - 20z + 64 = 0 \]
Решим это уравнение с помощью дискриминанта:
\[ D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 64 = 400 - 256 = 144 \]
Теперь найдем корни уравнения:
\[ z = \frac{20 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{20 \pm 12}{2} \]
Это даёт два значения:
\[ z_1 = \frac{32}{2} = 16 \quad \text{и} \quad z_2 = \frac{8}{2} = 4 \]
Теперь вернемся к переменной \( x^2 \):
- \( x^2 = 16 \Longrightarrow x = \pm 4 \)
- \( x^2 = 4 \Longrightarrow x = \pm 2 \)
Теперь найдем соответствующие значения \( y \):
- Если \( x = 4 \): \[ y = \frac{8}{4} = 2 \]
- Если \( x = -4 \): \[ y = \frac{8}{-4} = -2 \]
- Если \( x = 2 \): \[ y = \frac{8}{2} = 4 \]
- Если \( x = -2 \): \[ y = \frac{8}{-2} = -4 \]
Таким образом, мы имеем следующие решения системы:
- \( (4, 2) \)
- \( (-4, -2) \)
- \( (2, 4) \)
- \( (-2, -4) \)
Ответ: \( (4, 2), (-4, -2), (2, 4), (-2, -4) \)
