Решить систему управлений x²+y²=20 xy=8

Для решения системы уравнений: 1. \( x^2 + y^2 = 20 \) 2. \( xy = 8 \) мы можем воспользоваться заменой переменных. Из второго уравнения выразим одну из переменных, например \( y \): \[ y = \frac{8}{x} \] Теперь подставим это значение в первое уравнение: \[ x^2 + \left(\frac{8}{x}\right)^2 = 20 \] Упростим уравнение: \[ x^2 + \frac{64}{x^2} = 20 \] Умножим обе части уравнения на \( x^2 \) (предполагая, что \( x \neq 0 \)): \[ x^4 - 20x^2 + 64 = 0 \] Обозначим \( z = x^2 \). Тогда получаем квадратное уравнение: \[ z^2 - 20z + 64 = 0 \] Решим это уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 64 = 400 - 256 = 144 \] Теперь найдем корни уравнения: \[ z = \frac{20 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{20 \pm 12}{2} \] Это даёт два значения: \[ z_1 = \frac{32}{2} = 16 \quad \text{и} \quad z_2 = \frac{8}{2} = 4 \] Теперь вернемся к переменной \( x^2 \): 1. \( x^2 = 16 \Longrightarrow x = \pm 4 \) 2. \( x^2 = 4 \Longrightarrow x = \pm 2 \) Теперь найдем соответствующие значения \( y \): - Если \( x = 4 \): \[ y = \frac{8}{4} = 2 \] - Если \( x = -4 \): \[ y = \frac{8}{-4} = -2 \] - Если \( x = 2 \): \[ y = \frac{8}{2} = 4 \] - Если \( x = -2 \): \[ y = \frac{8}{-2} = -4 \] Таким образом, мы имеем следующие решения системы: 1. \( (4, 2) \) 2. \( (-4, -2) \) 3. \( (2, 4) \) 4. \( (-2, -4) \) Ответ: \( (4, 2), (-4, -2), (2, 4), (-2, -4) \)