Для решения задачи воспользуемся законом сохранения механической энергии, который гласит, что полная机械ическая энергия системы сохраняется, если в ней нет внешних сил.
Полная механическая энергия ( E ) пружинного маятника равна сумме потенциальной энергии пружины и кинетической энергии маятника:
[
E = E_{пот} + E_{кин}
]
Потенциальная энергия пружины в максимальной амплитуде ( A ):
[
E_{пот} = \frac{1}{2} k A^2
]
где ( k ) — жесткость пружины, ( A ) — амплитуда.
Кинетическая энергия в точке смещения ( x ):
[
E_{кин} = \frac{1}{2} m v^2
]
где ( m ) — масса маятника, ( v ) — скорость. Мы можем выразить общую энергию как:
[
E = E_{пот}(x) + E_{кин}
]
где
[
E_{пот}(x) = \frac{1}{2} k x^2
]
Теперь, подставим значения в уравнения:
- Определяем полную механическую энергию при максимальном смещении (амплитуде) 50 см (0.5 м):
[
E = \frac{1}{2} k A^2 = \frac{1}{2} \cdot 250 \cdot (0.5)^2 = \frac{1}{2} \cdot 250 \cdot 0.25 = \frac{250}{8} = 31.25 , \text{Дж}
]
- Находим потенциальную энергию в точке ( x = 45 , \text{см} = 0.45 , \text{м} ):
[
E_{пот}(0.45) = \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} \cdot 250 \cdot (0.45)^2 = \frac{250}{2} \cdot 0.2025 = 25 \cdot 0.2025 = 5.0625 , \text{Дж}
]
- Теперь находим кинетическую энергию в этой точке:
[
E_{кин} = E - E_{пот}(0.45) = 31.25 - 5.0625 = 26.1875 , \text{Дж}
]
- Теперь найдём скорость ( v ), используя кинетическую энергию:
[
E_{кин} = \frac{1}{2} m v^2
]
Подставляем значения:
[
26.1875 = \frac{1}{2} \cdot 0.35 \cdot v^2
]
Умножим обе стороны уравнения на 2:
[
52.375 = 0.35 \cdot v^2
]
Теперь делим обе стороны на 0.35:
[
v^2 = \frac{52.375}{0.35} \approx 149.393
]
Теперь извлекаем квадратный корень:
[
v \approx \sqrt{149.393} \approx 12.2 , \text{м/с}
]
Округляя до десятых, получаем, что скорость пружинного маятника в точке с координатой 45 см примерно равна 12.2 м/с.
