Совершающий свободные гармонические колебания вдоль положительного направления оси Ох пружинный маятник (k = 250 Н/м) достигает амплитудное значение смещения 50 см. Определи,…
Совершающий свободные гармонические колебания вдоль положительного направления оси Ох пружинный маятник (k = 250 Н/м) достигает амплитудное значение смещения 50 см. Определи, какой скоростью обладает пружинный маятник массой 350 г в точке с координатой 45 см. (Ответ округли до десятых.)
Для решения задачи воспользуемся законом сохранения механической энергии, который гласит, что полная机械ическая энергия системы сохраняется, если в ней нет внешних сил.
Полная механическая энергия \( E \) пружинного маятника равна сумме потенциальной энергии пружины и кинетической энергии маятника:
\[ E = E_{пот} + E_{кин} \]
Потенциальная энергия пружины в максимальной амплитуде \( A \):
\[ E_{пот} = \frac{1}{2} k A^2 \]
где \( k \) — жесткость пружины, \( A \) — амплитуда.
Кинетическая энергия в точке смещения \( x \):
\[ E_{кин} = \frac{1}{2} m v^2 \]
где \( m \) — масса маятника, \( v \) — скорость. Мы можем выразить общую энергию как:
\[ E = E_{пот}(x) + E_{кин} \]
где
\[ E_{пот}(x) = \frac{1}{2} k x^2 \]
Теперь, подставим значения в уравнения:
- Определяем полную механическую энергию при максимальном смещении (амплитуде) 50 см (0.5 м):
\[ E = \frac{1}{2} k A^2 = \frac{1}{2} \cdot 250 \cdot (0.5)^2 = \frac{1}{2} \cdot 250 \cdot 0.25 = \frac{250}{8} = 31.25 \, \text{Дж} \]
- Находим потенциальную энергию в точке \( x = 45 \, \text{см} = 0.45 \, \text{м} \):
\[ E_{пот}(0.45) = \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} \cdot 250 \cdot (0.45)^2 = \frac{250}{2} \cdot 0.2025 = 25 \cdot 0.2025 = 5.0625 \, \text{Дж} \]
- Теперь находим кинетическую энергию в этой точке:
\[ E_{кин} = E - E_{пот}(0.45) = 31.25 - 5.0625 = 26.1875 \, \text{Дж} \]
- Теперь найдём скорость \( v \), используя кинетическую энергию:
\[ E_{кин} = \frac{1}{2} m v^2 \]
Подставляем значения:
\[ 26.1875 = \frac{1}{2} \cdot 0.35 \cdot v^2 \]
Умножим обе стороны уравнения на 2:
\[ 52.375 = 0.35 \cdot v^2 \]
Теперь делим обе стороны на 0.35:
\[ v^2 = \frac{52.375}{0.35} \approx 149.393 \]
Теперь извлекаем квадратный корень:
\[ v \approx \sqrt{149.393} \approx 12.2 \, \text{м/с} \]
Округляя до десятых, получаем, что скорость пружинного маятника в точке с координатой 45 см примерно равна 12.2 м/с.
