Обозначим длину ( AB ) как ( x ) дм. Тогда ( AC = x + 0.2 ) дм (поскольку 2 см = 0.2 дм).
По условию ( \angle BAC = \angle BAR ), это означает, что треугольник ( ACR ) подобен треугольнику ( ABR ), и мы можем использовать свойство подобия треугольников для нахождения выражений:
[
\frac{AC}{AB} = \frac{BR}{AR}
]
Суммируя длины сторон периметра треугольника ( ABR ):
[
AB + BR + AR = 3.8 \text{ дм}
]
Известно, что ( BR = 0.16 \text{ дм} ). Подставим это значение в формулу:
[
x + 0.16 + AR = 3.8
]
Тогда
[
AR = 3.8 - x - 0.16 = 3.64 - x
]
Теперь подставим длины сторон в соотношение подобия:
[
\frac{x + 0.2}{x} = \frac{0.16}{3.64 - x}
]
Перемножив и упростив, получим уравнение:
[
(x + 0.2)(3.64 - x) = 0.16x
]
Решив это уравнение, находим ( x ):
[
3.64x - x^2 + 0.728 - 0.2x = 0.16x
]
Приведем подобные:
[
-x^2 + 3.64x - 0.16x - 0.2x + 0.728 = 0
]
Это упростится до:
[
-x^2 + 3.28x + 0.728 = 0
]
Теперь умножим на -1 для удобности:
[
x^2 - 3.28x - 0.728 = 0
]
Применяем формулу нахождения корней квадратного уравнения:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
где ( a = 1, b = -3.28, c = -0.728 ).
После вычислений, получаем:
[
x \approx 3.4
]
Таким образом, длина ( AB ) составляет:
[
AB \approx 3.4 \text{ дм}.
]
