Решите систему уравнений целых числах 2x² - 7 = y² y + 19 = 6x
Решим систему уравнений:
- \( 2x^2 - 7 = y^2 \)
- \( y + 19 = 6x \)
Из второго уравнения выразим \( y \):
\[ y = 6x - 19 \]
Теперь подставим это значение в первое уравнение:
\[ 2x^2 - 7 = (6x - 19)^2 \]
Раскроем квадрат:
\[ (6x - 19)^2 = 36x^2 - 228x + 361 \]
Теперь подставим это в первое уравнение:
\[ 2x^2 - 7 = 36x^2 - 228x + 361 \]
Переносим все на одну сторону:
\[ 0 = 36x^2 - 228x + 361 - 2x^2 + 7 \] \[ 0 = 34x^2 - 228x + 368 \]
Умножим уравнение на \(-1\):
\[ 0 = -34x^2 + 228x - 368 \]
Теперь это можно упростить, разделив на 2:
\[ 0 = -17x^2 + 114x - 184 \]
Для удобства запишем так:
\[ 17x^2 - 114x + 184 = 0 \]
Теперь найдем дискриминант:
\[ D = (-114)^2 - 4 \cdot 17 \cdot 184 = 12996 - 12536 = 460 \]
Теперь проверим, является ли дискриминант полным квадратом:
\(\sqrt{460} = 2\sqrt{115}\), так что корень не является целым.
Из-за этого следует, что значение \( x \) не будет целым. Мы можем искать целые решения, подставляя значения \( x \) в исходные уравнения.
Проверим целые значения \( x \) от \(-10\) до \(10\):
Для \( x = 0 \): \[ y + 19 = 0 \implies y = -19 \] \[ 2(0)^2 - 7 \neq (-19)^2 \implies -7 \neq 361 \]
Для \( x = 1 \): \[ y + 19 = 6 \implies y = -13 \] \[ 2(1)^2 - 7 \neq (-13)^2 \implies -5 \neq 169 \]
Для \( x = 2 \): \[ y + 19 = 12 \implies y = -7 \] \[ 2(2)^2 - 7 = 8 - 7 = 1 \implies 1 = (-7)^2 \neq 49 \]
Для \( x = 3 \): \[ y + 19 = 18 \implies y = -1 \] \[ 2(3)^2 - 7 = 18 - 7 = 11 \implies 11 \neq (-1)^2 = 1 \]
Для \( x = 4 \): \[ y + 19 = 24 \implies y = 5 \] \[ 2(4)^2 - 7 = 32 - 7 = 25 \implies 25 = 5^2 \] Находим первое целое решение: \( (x, y) = (4, 5) \).
Для \( x = 5 \) (и далее): \[ y + 19 = 30 \implies y = 11 \] \[ 2(5)^2 - 7 = 50 - 7 = 43 \implies 43 \neq 11^2 = 121 \]
Пытаясь дальше, мы не найдем больше целых решений.
Таким образом, единственное целое решение данной системы уравнений:
\[ (x, y) = (4, 5) \]
