Решите систему уравнений целых числах 2x² - 7 = y² y + 19 = 6x

Решим систему уравнений: 1. \( 2x^2 - 7 = y^2 \) 2. \( y + 19 = 6x \) Из второго уравнения выразим \( y \): \[ y = 6x - 19 \] Теперь подставим это значение в первое уравнение: \[ 2x^2 - 7 = (6x - 19)^2 \] Раскроем квадрат: \[ (6x - 19)^2 = 36x^2 - 228x + 361 \] Теперь подставим это в первое уравнение: \[ 2x^2 - 7 = 36x^2 - 228x + 361 \] Переносим все на одну сторону: \[ 0 = 36x^2 - 228x + 361 - 2x^2 + 7 \] \[ 0 = 34x^2 - 228x + 368 \] Умножим уравнение на \(-1\): \[ 0 = -34x^2 + 228x - 368 \] Теперь это можно упростить, разделив на 2: \[ 0 = -17x^2 + 114x - 184 \] Для удобства запишем так: \[ 17x^2 - 114x + 184 = 0 \] Теперь найдем дискриминант: \[ D = (-114)^2 - 4 \cdot 17 \cdot 184 = 12996 - 12536 = 460 \] Теперь проверим, является ли дискриминант полным квадратом: \(\sqrt{460} = 2\sqrt{115}\), так что корень не является целым. Из-за этого следует, что значение \( x \) не будет целым. Мы можем искать целые решения, подставляя значения \( x \) в исходные уравнения. Проверим целые значения \( x \) от \(-10\) до \(10\): 1. **Для \( x = 0 \)**: \[ y + 19 = 0 \implies y = -19 \] \[ 2(0)^2 - 7 \neq (-19)^2 \implies -7 \neq 361 \] 2. **Для \( x = 1 \)**: \[ y + 19 = 6 \implies y = -13 \] \[ 2(1)^2 - 7 \neq (-13)^2 \implies -5 \neq 169 \] 3. **Для \( x = 2 \)**: \[ y + 19 = 12 \implies y = -7 \] \[ 2(2)^2 - 7 = 8 - 7 = 1 \implies 1 = (-7)^2 \neq 49 \] 4. **Для \( x = 3 \)**: \[ y + 19 = 18 \implies y = -1 \] \[ 2(3)^2 - 7 = 18 - 7 = 11 \implies 11 \neq (-1)^2 = 1 \] 5. **Для \( x = 4 \)**: \[ y + 19 = 24 \implies y = 5 \] \[ 2(4)^2 - 7 = 32 - 7 = 25 \implies 25 = 5^2 \] Находим первое целое решение: \( (x, y) = (4, 5) \). 6. **Для \( x = 5 \)** (и далее): \[ y + 19 = 30 \implies y = 11 \] \[ 2(5)^2 - 7 = 50 - 7 = 43 \implies 43 \neq 11^2 = 121 \] Пытаясь дальше, мы не найдем больше целых решений. Таким образом, единственное целое решение данной системы уравнений: \[ (x, y) = (4, 5) \]