Периметр прямоугольника равен 22 см, а его пло щадь 24 см³. Найдите длины сторон прямоугольника.

Обозначим длины сторон прямоугольника как \( a \) и \( b \).

Согласно условиям задачи, у нас есть две формулы:

1. Периметр прямоугольника: \[ P = 2(a + b) = 22 \]

2. Площадь прямоугольника: \[ S = a \cdot b = 24 \]

Сначала из первого уравнения найдем сумму \( a + b \):

\[ a + b = \frac{22}{2} = 11 \]

Теперь у нас есть система уравнений:

1. \( a + b = 11 \)
2. \( ab = 24 \)

Теперь выразим одну переменную через другую из первого уравнения:

\[ b = 11 - a \]

Подставим это значение во второе уравнение:

\[ a(11 - a) = 24 \]

Раскроем скобки:

\[ 11a - a^2 = 24 \]

Переносим всё в одну сторону:

\[ a^2 - 11a + 24 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[ D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 121 - 96 = 25 \]

Корни уравнения находятся по формуле:

\[ a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 \pm 5}{2} \]

Находим два возможных значения для \( a \):

1. \( a_1 = \frac{16}{2} = 8 \)
2. \( a_2 = \frac{6}{2} = 3 \)

Теперь находим значения \( b \):

Если \( a = 8 \), тогда \( b = 11 - 8 = 3 \).

Если \( a = 3 \), тогда \( b = 11 - 3 = 8 \).

Таким образом, длины сторон прямоугольника равны \( 8 \) см и \( 3 \) см.